字符串学习笔记（一）

一些定义：
1. Border: 如果一个字符串的某个前缀同与它长度相同的后缀完全相同，就称这个前缀（后缀）是这个字符串的一个Border.
2. 周期:如果一个字符串s满足对于任意的p < i \(\leqslant\) |s|, s[i] = s[i - p], 则称p是字符串s的周期，一个字符串可能有很多个周期。
3. 循环节：在周期的概念中，字符串末尾可能有未尽的循环单元，但是在循环节的概念中，必须每个循环单元都是完整的，即p | \(\lvert s \rvert\)(p整除字符串的长度)，循环节是每个循环单元的长度。

重要性质：
1. 如果p是s的周期， 那么[1, |s| - p]是s的一个Border
证明: p是s的周期，那么s[i] = s[i + p];
[1, q]是s的一个Border, 那么s[1] = s[|s| - q + 1], s[2] = s[|s| - q + 2] \(\dots\) s[q] = s[|s|];
就是说 |s| - q + i = i + p => q = |s| - p;
这样的话，求周期和求Border的问题就可以相互转化。
2. s的Border的Border也是s的Border;
证明：稍微想一下就行了。

Border的求法:
要求所有的Border，只要求出所有前缀的最大Border就可以了。
设next[i] = prefix[i]的最大非平凡Border
很明显,next[1] = 0;
然后，考虑所有prefix[i]所有长度不为1的Border，任意一个，在减去一个字符以后都会是prefix[i - 1]的前缀。
那么我们在求prefix[i]的最大Border的时候，就依次看next[i - 1], next[next[i - 1]]..0， 检查后一个字符是否相等；
时间复杂度O(n)，用势能分析法可以估算出来。

CODE:

void init(string & s) {
	nxt[1] = 0;
	for(int i = 2; i <= s.size() - 1; i ++) {
		nxt[i] = nxt[i - 1];
		while(nxt[i] && s[nxt[i] + 1] != s[i]) nxt[i] = nxt[nxt[i]];
		nxt[i] += (s[i] == s[nxt[i] + 1]);
	}
}

KMP:
首先贴一个朴素版本的代码

bool brute(string & s1, string & s2) {
	int n = s1.size() - 1;
	int m = s2.size() - 1;
	bool vis;
	for(int i = 1;  i <= n - m + 1; i ++) {
		vis = true;
		for(int j = 1; j <= m; j ++) {
			if(s2[j] != s1[i + j - 1]) vis = false;
		}
		if(vis) return true;
	}
	return false;
}

可以看到，在每次匹配失败以后，i指针只会后移一位，这太蠢了。
我们可以每次移动一个更合理的距离。
不太好说，可以找网上很经典的图，总之是枚举nxt[j],nxt[nxt[j]]就可以了。