一、集合的概念

1、集合和元素的概念

　　康托尔定义：人们无意中或思想中将一些确定的、彼此完全不同的客体的总和，这些客体叫做集合中的元素。

        互不相同的、确定的对象的全体称为集合，简称集。 这些对象作为集合的成员，称为集合的元素。 常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素。

         集合的元素，可以是具体的事物，也可以是抽象的概念。 集合的元素是可区分的，因此任一元素，对于一个给定的集合，或者这个元素是该集合的一个元素，或者这个元素不是该集合的一个元素，二者必居其一，且仅居其一。

2、集合与元素的关系

　　一个元素a对于一个集合A，若a是A中的一个元素，则称a属于A，记为a∈A；否则，所a不是A中的一个元素，则称a不属于A，记为a∉A。

3、集合的表示（构成集合的元素必须是互不相同的，而与它们在集合中的出现次序无关。）

　　枚举法：将集合的元素逐一枚举出来或列出足够多的元素以反映集合中成员的特征，元素之间用逗号“，”加以间隔，并用一对括号“{}”括起来。当集合的元素个数较少时，枚举法表示最为有效。

　　性质描述法（属性表示法）：用集合中元素的共同性质来刻画集合，称为性质描述法。 用{x|P(x)}或{x:P(x)}表示具有性质P的那些元素构成的集合。S={x|x具有P的性质}

　　递归指定元素：通过计算规则定义集合中的元素（例如斐波那契数列）

　　巴克斯范式（BNF）表示法：用来定义高级程序设计语音的标识符或表达式集合

　　文氏图法（韦恩图）

4、有穷集合和无穷集合

　　由有限个元素构成的集合称为有限集合，或有穷集合，由无穷多个元素构成的集合称为无穷集合。

　　基数：集合A的元素个数，记为|A|。（元数）

5、特殊集合

　　单元素集：仅含有一个元素的集合，称为单元素集。

　　空集：不含任何元素的集合称为空集，记为∅，于是∅={}。我们假定空集是存在的。

　　全集：包含所考虑的目标内的所有元素的集合称为全集（所考虑的集合都是某一集合的子集），常记为U（或E）。 对于全集要注意两点，一是“全”不是绝对的，而是相对的，二是全集常省略其表示。

二、集合之间的关系

1、包含关系

　　设A和B是两个集合，如果A的每一个元素都是B的元素，则称A是B的子集，或A包含于B，或B包含A，记为A⊆B，或B⊇A。于是，A⊆B⇔∀x∈A有x∈B。

　　对于给定的两个集合A和B，可能A⊆B或B⊆A，也可能两者均不成立。 若A不是B的子集，则记为A⊈B。于是，A⊈B⇔∃x∈A使得x∉B。

　　定理：设A，B，C是集合，显然有 (1)A⊆A。 (2)若A⊆B且B⊆C，则A⊆C。

2、真包含关系

　　设A和B是两个集合，如果A⊆B，但B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，或A真包含于B，或B真包含A，记为A⊂B，或B⊃A。于是， A⊂B⇔∀x∈A有x∈B但∃x∈B使得x∉A。（A⊆B，且A≠B）

　　空集是任一集合的子集，且空集是唯一的。

3、集合相等

　　设A和B是两个集合，如果A⊆B且B⊆A，则称A与B相等，记为A=B。（A、B两个集合元素完全一样，即A、B两个集合实际上是同一个集合）

　　两个集合相等意味着两个集合由完全相同的元素组成，但是并不意味着它们是用同样的方法表示的。

　　若A与B是两个不相等的集合，就记为A≠B。

　　A=B⇔A⊆B且B⊆A（互为子集法，证明两个集合相等的最基本方法） 

4、集族

　　以集合为元素的集合称为集族。若集合C可表示为C={S_d|d∈D},则称D为集合C的标志（索引）集。

　　注意区分∅和{∅}，∅是空集，而{∅}是一个集族，这个集族只有一个元素∅，∅就是空集，因此∅≠{∅}，但是∅∈{∅}。

5、幂集

　　集合A的全部子集构成的集族称为A的幂集，记为2^A （或者ρ（A））。2^A={X|X⊆A}。

　　幂集具有以下性质：

　　①设A、B是两个集合，A⊆B当且仅当ρ（A）⊆ρ（B）

　　②x∈ρ（A）当且仅当x⊆A；

三、集合的运算

1、并集（上并大病）

　　设A与B是任意两个集合，由至少属于A与集合B之一的一切元素构成的集合称为A与B的并集（所有属于A或者属于B的元素构成的集合），记为A∪B，即 A∪B={x|x∈A或x∈B}（可推广到多个集合）

　　设A，B，C为任意集合，则

　　(1)交换律成立：A∪B=B∪A

　　(2)结合律成立：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)

　　(3)幂等律成立：A∪A=A

　　(4)∅∪A=A

　　(5)A∪B=B⇔A⊆B

2、交集（下交娇小）

　　设A与B是任意两个集合，由既属于集合A又属于集合B的一切元素构成的集合称为A与B的交集（由属于A且有属于B的元素构成的集合），记为A∩B，即 A∩B={x|x∈A且x∈B}（可推广到多个集合）

　　设A，B，C为任意集合，则

　　(6)交换律成立：A∩B=B∩A

　　(7)结合律成立：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

　　(8)幂等律成立：A∩A=A

　　(9)∅∩A=∅

　　(10)A∩B=B ⇔B⊆A

　　设A，B为任意集合，若A∩B=∅，则称A与B不相交。

　　若集序列A1，A2，A3，…的任意两集合Ai和Aj(i≠j)不相交，则称A1，A2，A3，…是两两不相交的集序列。

　　设A，B，C为任意集合，则

　　(11)交运算对并运算满足分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

　　(12)并运算对交运算满足分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

　　设A和B为任意集合，则吸收律成立：

　　(13)A∩(A∪B)=A；

　　 (14)A∪(A∩B)=A。

3、差集

　　设A与B是任意两个集合，由属于A但不属于B的一切元素构成的集合成为A与B的差集，记为A\B或A-B，即A\B={x|x∈A且x∉B}

　　差运算不满足交换律，也不满足结合律。

　　设A，B，C为任意集合，则交运算对差运算满足分配律：

　　(15)A∩(B\C)=(A∩B)\(A∩C)

4、对称差

　　设A和B是任意两个集合，A\B与B\A的并集称为A与B的对称差（环和），记为A△B。于是 A△B=(A\B)⋃(B\A)或（A∪B）\（A∩B）

　　对称差的余集叫做环积

　　设A，B，C为任意集合，则

　　(16)交换律成立：A△B=B△A；

　　(17)结合律成立：(A△B)△C=A△(B△C)；

　　(18)A△A=Φ；

　　(19)Φ△A=A；

　　(20)交运算关于对称差满足分配律：A∩(B△C)=(A∩B)△(A∩C)

5、余集

　　设S是一个集合，A⊆S，差集S\A称为A对S的余集，记为A^c，即A^c=S\A，余集也称为补集。(也有记作A上面带一个“—”的)

　　设S是一个集合，A⊆S，则

　　(21)Sc= Φ ；

　　(22) Φc=S；

　　(23) A∩Ac= Φ

　　(24) A ∪ Ac= S

　　(25) A\B= A∩Bc

　　(26) A △ B= (A∩Bc)∪ (B∩Ac)

　　(27) Ac = S△A

　　(28) (Ac )c = A

　　设S是一个集合，A，B S，则De Morgan（德摩根）律成立：

　　(29) (A∪B)c= Ac∩Bc

　　(30) (A∩B)c= Ac∪Bc

6、集合运算总结：

 四、笛卡尔积

1、序对（序偶）

　　两个元素a和b按一定次序排列的整体称为序对，或二元组，记为(a,b)。a称为序对(a,b)的第一个元素，b称为第二个元素。

　　序对中的两个元素是有次序的，因此序对与含两个元素的集合是有区别的。集合{a,b}的元素没有次序关系，{a,b}与{b,a}是同一集合，但是序对(a,b)与(b,a)在a b时是不相同的。我们规定(a,b)=(c,d)当且仅当a=c且b=d。

2、笛卡尔积

　　设A和B为任意两个集合，则称集合{(a,b)|a∈A，b∈B}为A与B的笛卡尔积（直乘积），记为A×B。

　　A×B={（x,y）|x∈A且y∈B}

　　a)笛卡尔积是有序的因此一般地A×B≠B×A，即笛卡尔积不满足交换律。

　　b)笛卡尔积运算也不满足结合律，

　　c)由笛卡尔积定义可知，对任意集合A，有A×Φ=Φ×A=Φ 。

　　设A，B，C为任意集合，则笛卡尔积对并、交、差运算分别满足分配律，即：

　　 (31)A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)

　　(32)A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)

　　(33)A×(B\C)=(A×B)\(A×C)

　　由排列组合可以证明，如果集合A的基数为m，B为n，则A×B有mn个元素

　　设A,B,C,D是集合，则有：若A⊆C且B⊆D，则A×B⊆C×D