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限失真信源编码

时间:2023-04-06 10:03:24浏览次数:54  
标签:编码 概率 互信息 失真 信源 信道 事件 信宿

本专栏包含信息论与编码的核心知识,按知识点组织,可作为教学或学习的参考。markdown版本已归档至【Github仓库:https://github.com/timerring/information-theory 】或者公众号【AIShareLab】回复 信息论 获取。

有失真信源编码的数学模型如下图所示,将编码过程看成信息经过有扰信道传输的过程。信道输出 Y 即为编码输出。

限失真信源编码_互信息

对离散信道,用信道转移概率(条件概率)p(y|x)表示信道。

限失真信源编码_互信息_02

如BSC信道:

限失真信源编码_取值_03

互信息

设有两个随机事件X和Y ,

  • X取值于信源发出的离散消息集合
  • Y取值于信宿收到的离散符号集合

限失真信源编码_取值_04

如果信道是无噪的,当信源发出消息 限失真信源编码_后验概率_05 后,信宿必能准确无误地收到该消息, 彻底消除对 限失真信源编码_后验概率_05 的不确定性, 所获得的信息量就是 限失真信源编码_后验概率_05自信息 限失真信源编码_后验概率_08 ,即 限失真信源编码_后验概率_05 本身含有的全部信息

一般而言,信道中总是存在着噪声和干扰,信源发出消息 限失真信源编码_后验概率_05 ,通过信道后, 信宿只可能收到由于干扰作用引起的某种变形 限失真信源编码_后验概率_11 。(例如BSC信道,可能发出0收到1)

  • 信宿收到 限失真信源编码_后验概率_11 后推测信源发出 限失真信源编码_后验概率_05 的概率 限失真信源编码_互信息_14 称为后验概率
  • 信源发出消息 限失真信源编码_后验概率_05 的概率 限失真信源编码_取值_16 称为先验概率

互信息定义

定义为 限失真信源编码_后验概率_05 的后验概率与先验概率比值的对数

限失真信源编码_后验概率_18

限失真信源编码_取值_19

限失真信源编码_后验概率_20

**互信息 限失真信源编码_取值_21 表示接收到某消息 限失真信源编码_后验概率_11 后获得的关于事件 限失真信源编码_后验概率_05 的信息量。**单位和自信息相同。

例 、某地二月份天气构成的信源为:

限失真信源编码_取值_24

求得自信息量分别为

限失真信源编码_互信息_25

若得知 “今天不是晴天” ,作为收到的消息 限失真信源编码_后验概率_26

当收到 限失真信源编码_后验概率_26 后, 各种天气发生的概率变成后验概率:

限失真信源编码_后验概率_28

限失真信源编码_取值_29

表明从 限失真信源编码_后验概率_26 分别得到了 限失真信源编码_互信息_31 各 1 比特的信息量。 消息 限失真信源编码_后验概率_26 使 限失真信源编码_互信息_31 的不确定度各减少 1 bit。

互信息的性质

  • 互易性 限失真信源编码_互信息_34
  • 当事件 限失真信源编码_互信息_35, 限失真信源编码_互信息_36 统计独立时, 互信息为 0 , 即 限失真信源编码_互信息_37
  • 互信息可正可负
  • 任何两事件之间的互信息不可能大于其中任一事件的自信息(见上述公式3)

例:设 e 表示事件“降雨”, f 表示事件“空中有乌云”,且

标签:编码,概率,互信息,失真,信源,信道,事件,信宿
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