HDOJ2067_小兔的棋盘(卡塔兰数)

小兔的棋盘

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 11339    Accepted Submission(s): 5717

Problem Description

小兔的叔叔从外面旅游回来给她带来了一个礼物，小兔高兴地跑回自己的房间，拆开一看是一个棋盘，小兔有所失望。不过没过几天发现了棋盘的好玩之处。从起点(0，0)走到终点(n,n)的最短路径数是C(2n,n),现在小兔又想如果不穿越对角线(但可接触对角线上的格点)，这样的路径数有多少?小兔想了很长时间都没想出来，现在想请你帮助小兔解决这个问题，对于你来说应该不难吧!

Input

每次输入一个数n(1<=n<=35)，当n等于－1时结束输入。

Output

对于每个输入数据输出路径数，具体格式看Sample。

Sample Input

1 3 12 -1

Sample Output

1 1 2 2 3 10 3 12 416024

维基百科对卡塔兰数的解析：

明安图《割圜密率捷法》卷三 “卡塔兰数”书影

卡塔兰数

卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰（1814–1894）命名。历史上，清代数学家明安图(1692年－1763年)在其《割圜密率捷法》最早用到“卡塔兰数”，远远早于卡塔兰^[1][2][3]。有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡塔兰数”^[4]。

卡塔兰数的一般项公式为 

前20项为（OEIS中的数列A000108）：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190

目录

 [隐藏] 

• 1 性质
• 2 应用
• 3 汉克尔矩阵
• 4 参考文献

性质[编辑]

C_n的另一个表达形式为

 所以，C_n是一个自然数；这一点在先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。（见下文的第二个证明。）

递推关系

它也满足

这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

卡塔兰数的渐近增长为

它的含义是当n → ∞时，左式除以右式的商趋向于1。（这可以用n!的斯特灵公式来证明。）

所有的奇卡塔兰数C_n都满足

。所有其他的卡塔兰数都是偶数。

应用

组合数学中有非常多的组合结构可以用卡塔兰数来计数。在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一书的习题中包括了66个相异的可由卡塔兰数表达的组合结构。以下用n=3和n=4举若干例：

• C_n表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的前缀字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

• 将上例的X换成左括号，Y换成右括号，C_n表示所有包含n组括号的合法运算式的个数：

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

• C_n表示有n个节点组成不同构二叉树的方案数。下图中，n等于3，圆形表示节点，月牙形表示什么都没有。
• C_n表示有2n+1个节点组成不同构满二叉树（full binary tree）的方案数。下图中，n等于3，圆形表示内部节点，月牙形表示外部节点。本质同上。

证明：

令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有

个，下面考虑不满足要求的数目。

考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。

从而

。证毕。

• C_n表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数：X代表“向右”，Y代表“向上”。下图为n = 4的情况：

• C_n表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况：

• C_n表示对{1, ..., n}依序进出栈的置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, ..., n),其中S（w）递归定义如下：令w = unv，其中n为w的最大元素，u和v为更短的数列；再令S(w) = S(u)S(v)n，其中S为所有含一个元素的数列的单位元。
• C_n表示集合{1, ..., n}的不交叉划分的个数.那么, C_n永远不大于第n项贝尔数. C_n也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉划分的个数，其中每个段落的长度为2。综合这两个结论，可以用数学归纳法证明：在 魏格纳半圆分布定律 中度数大于2的情形下，所有 自由的 累积量s 为零。 该定律在 自由概率论 和 随机矩阵 理论中非常重要。
• C_n表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为n = 4的情况：

• C_n表示表为2×n的矩阵的标准杨氏矩阵的数量。 也就是说，它是数字 1, 2, ..., 2n 被放置在一个2×n的矩形中并保证每行每列的数字升序排列的方案数。同样的，该式可由勾长公式的一个特殊情形推导得出。
• C_n表示n个无标号物品的半序的个数。

汉克尔矩阵[编辑]

无论n的取值为多少，n×n的汉克尔矩阵:

的行列式为1。例如，n = 4 时我们有

。

进一步，无论n的取值为多少，如果矩阵被移动成

，它的行列式仍然为1。 例如，n = 4 时我们有

。

同时，这两种情形合在一起唯一定义了卡塔兰数。

这题就是” C_n表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。”

对于HDOJ2067来讲，如果使用公式直接打表，会发现是溢出的情况，这是就需要使用递推的方式了

（1）h(n)=h(0)×h(n-1)+h(1)×h(n-2)+…+h(n-1)×h(0)     (n≥2)

（2）h(n)=((4n-2)/(n+1))×h(n-1)

（3）h(n)=C(2n,n)/(n+1)     (n=1，2，3，…)

下面AC代码：

import java.util.Scanner;

public class Main{
	private static Scanner scanner;
	private static long arr[];

	public static void main(String[] args) {
		scanner = new Scanner(System.in);
		int count = 1;
		while (scanner.hasNext()) {
			int n = scanner.nextInt();
			if(n == -1){
				break;
			}
			
			arr = new long[36];
			arr[0] = 1;
			founction2();// 方法2--递推
//			founction1();//方法1--公式（溢出）
			System.out.println(count+" "+n+" "+arr[n] * 2);
			count++;
		}
	}

	public static void founction2() {
		for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
			for (int j = 0; j < i; j++) {
				arr[i] += arr[j] * arr[i - j - 1];
			}
		}
	}
	public static void founction1(){
		for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
			arr[i] = (fac(i*2))/(fac(i+1)*fac(i));
		}
	}

	//计算阶乘
	public static long fac(int n) {
		long sum = 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			sum *= i;
		}
		return sum;
	}
}