有限域的实例化表示探讨

Z / (p)

有限域最普通的例子是 Z_p = Z / (p)，其中 Z 是整数环，p 是一个素数. Z_p 有非常直观的实例化表示，即：

Z_p = {0 + (p), 1 + (p), ^..., p-1 + (p)} = {[0]_p, [1]_p, ..., [p-1]_p}.

这个表示法可以非常直观地看到 char(Z_p) = p，以及 (Z_p, +) 构成加法交换群，比如 [i]_p 的加法逆元是 [p-1 - i]_p，i = 0, ..., p-1.

而 (Z_p \ {0}, ·) 构成乘法交换群则不太直观，除了 [1]_p 和 [p-1]_p} 的乘法逆元是自身之外，其它的非零元（比如 p > 2 时的 [2]_p）的乘法逆元并不能直观地看出来. 只是由于 p 是素数，则 p 和 {1, ..., p-1} 中的任意一个数，比如记作 a，都互素，即gcd(p, a) = 1，并进而推出存在 b ∈ {1, ..., p-1}，使得 ab ≡ 1 mod (p). 即有 (Z_p \ {0}, ·) 构成乘法交换群的结论. 要具体求出 a 的乘法的逆元到底是哪一个，需要用到辗转相除法，以 Z₁₃  为例来具体求一下 [5]₁₃ 的乘法逆元：

13 = 2 · 5 + 3
5 = 1 · 3 + 2
3 = 1 · 2 + 1

于是 1 = 3 - 1 · 2 = 3 - 1 · (5 - 1 · 3) = 2 · 3 - 5 = 2 · (13 - 2 · 5) - 5 = 2 · 13 - 5 · 5，即有

-5 · 5 ≡ 1 mod (13)，而 -5 + 13 = 8

因此 [5]₁₃ 的乘法逆元是 [8]₁₃.

F_q

一般的有限域记为 F_q，其中 q = pⁿ，p 是素数，n 是正整数. 即有限域 F_q 有 q = pⁿ 个元素，素数 p 是 F_q 的特征，n 是 F_q 在其素子域 F_p 上的扩张次数，即有 [F_q : F_p] = n.

F_q 一般采用多项式根的表示方式，即：

F_q = {x : x^q = x}, q = pⁿ.

n = 1 时，即有 F_p = {x : x^p = x}. 显然，F_p 与上述的 Z / (p) 同构.

因为 x^q = x 等价于 x·(x^q-1 - 1) = 0. 这种表示法，和上述的 Z / (p) 表示法正好相反，倒是可以很直观地看出 (F_q \ {0}, ·) 构成乘法交换群，而且是循环群. 非零元素 x 的乘法逆元即为 x^q-2.

进一步对 F_q 作实例化的表示则不太容易，以下就 q = 3² = 9 的情形为代表探讨一下.

当 p = 3 时，F₃ = {x : x³ = x}，x³ = x 的3 个根显然就是 0, 1, -1. 因此 F₃ 可以实例化表示为：

F₃ = {0, 1, -1}.

其中 0 是加法单位元，1 是乘法单位元，-1 是 1+1 的简记，容易验证 -1 的加法逆元和乘法逆元分别是 1 和 -1，比如 (1+1)·(1+1) = 1+1+1+1 = 0+1 = 1.

F₉ = {x : x⁹ = x}，多项式 x⁹ - x 在 F₃ 上可以分解为：

x⁹ - x = x·(x⁸ - 1) = x·(x - 1)·(x + 1)·(x² + 1)·(x⁴ + 1)

显然，0, 1, -1 依然是 F₉ 中的元素. 多项式 x² + 1 和 x⁴ + 1 在 F₃ 上不能进一步分解. x² + 1 的根是 F₉ 中的元素，因此可以借用复数域的符号 i（因为 i · i = -1），即 i ∈ F₉，来考察是否有 F₉ = F₃(i).

为方便起见，记 E = F₃(i). 由 i ∈ E，E 是扩域，显然 i+i 也在 E 中，由 (i+i) + i = (i·1+i·1) + i·1 = i·(1+1+1) = i·0 = 0，可将 i+i 简记为 -i.

同样，可知 1+i，1-i，-1+i，-1-i 也都在 E 中，于是 E = {0, 1, -1, i, -i, 1+i, 1-i, -1+i, -1-i}，|E| = 9. 因此：

F₉ = F₃(i) = {0, 1, -1, i, -i, 1+i, 1-i, -1+i, -1-i}.

易知，1+i，1-i，-1+i，-1-i 就是 x⁴ + 1 的 4 个根，以 1+i 为例验证一下：

(1 + i)² = 1·1 + i·i + 1·i + 1·i = 1 + (-1) + (i+i) = 0 + (-i) = -i

(1 + i)⁴ + 1 = (-i)² + 1 = -1 + 1 = 0.

上面的过程很清晰地可以看到：

i 在 F₃ 上的最小多项式为 x² + 1，deg(x² + 1) = 2，且 {1, i} 是 F₉ = F₃(i) 在 F₃ 上的一组基；

F₉ 是 F₃ 上的分裂域，即使得 x⁹ - x 可以完全分解的在 F₃ 上的极小扩域.

最后说明一下，上述对 F₃ 和 F₉ 的实例化表示中对复数域符号 -1 和 i 仅仅是借用，并不能说  F₃ 和 F₉ 是复数域（或同构意义下的广义复数域）的子域. 这是因为 F₃ 和 F₉ 中满足的 1+1+1 = 0，在复数域中并不成立. 也就是说，若 E/F 是域扩张，则必有 char(E) = char(F).