思路很清奇的网络流题
这种第i天需要至少\(a_i\)人的限制，按常规思路容易想到在i号点和i+1号点之间连一条容量为\(a_i\)的边，并强制流满。但是如果雇佣了一个人，他只能从\(s_i天工作到t_i\)天，我们无法控制他只流这个区间内的边，所以需要换一种思路。
考虑如下建图。对于第i天的限制，我们从第i个点到第i+1个点连一条边，费用为0，先不管它的容量是多少，反正这条边代表第i天的限制。然后对于第i类人，从第\(s_i\)个点到第\(t_i+1\)个点连容量为inf，费用为\(c_i\)的边，这条边的最终流量就代表招募的这种人的个数。然后从源点到第1个点连容量为inf费用为0的边，从第n+1个点到汇点也连一样的边。其实这个图跑最小费用最大流的最终费用就是答案(第一类边的容量接下来说明)，考虑证明。
令这个图的最大流量为tot。由于这个图是一个dag，根据网络流的性质，在取最小费用最大流时，对任意i，第\(i(1\le i \le n)\)个点到第\(i+1\)个点的所有边(包括直接相连的边以及跨过i和i+1中间这个空档的志愿者边)的总流量是tot。我们希望对于任意i，跨过i和i+1之间的空档的志愿者边的流量总和\(\ge a_i\)，这等价于i和i+1之间直接相连的那条边的流量\(\le tot-a_i\)。如果我们令每条\(i\to i+1\)的边的容量为\(inf-a_i\)(注意这题中提到的inf都不是无穷，而是一个很大的数比如1e16)，其实这个图的最大流量就是inf(这个待会证明)，也就是tot=inf，且此时显然每条\(i\to i+1\)的边流量都不超过\(tot-a_i\)，所以在这个情况下求出的最小费用最大流的费用就是答案。
然后来证明这个图的最大流是inf。首先由于源点到1号点的容量就是inf，所以最大流不会超过inf。由于题目保证有解，那么假设我们随意取出一组解(不需要费用最小)，并按照这个解先分配好每条志愿者边的流量。然后强制这个图的总流量是inf，然后从左往右推，该由志愿者边分流的时候就分流，其余的直接沿着\(i\to i+1\)的边往前流，发现永远不会发生边容量不够的情况，所以最大流\(\ge inf\)。综上，最大流量就是inf。
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#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define repn(i,n) for(int i=1;i<=n;++i)
#define LL long long
#define pii pair <LL,LL>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mpr make_pair
void fileio()
{
#ifdef LGS
freopen("in.txt","r",stdin);
freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
}
void termin()
{
#ifdef LGS
std::cout<<"\n\nEXECUTION TERMINATED";
#endif
exit(0);
}
using namespace std;
struct edge
{
LL to,flow,cost,rev;
edge(LL a,LL b,LL c,LL d):to(a),flow(b),cost(c),rev(d){}
};
namespace minCostFlow
{
vector <edge> g[10010];
LL n,dist[10010],cur[10010];
bool inq[10010],vis[10010];
queue <LL> q;
void add_edge(LL x,LL y,LL flow,LL cost)
{
g[x].pb(edge(y,flow,cost,(LL)g[y].size()));
g[y].pb(edge(x,0,-cost,(LL)g[x].size()-1));
}
bool relax(LL to,LL fr,LL e)
{
if(dist[to]>dist[fr]+e)
{
dist[to]=dist[fr]+e;
return true;
}
return false;
}
bool spfa(LL s,LL t)
{
rep(i,n+3) dist[i]=1e18;
dist[s]=0;inq[s]=true;q.push(s);
while(!q.empty())
{
LL p=q.front();q.pop();inq[p]=false;
rep(i,g[p].size()) if(g[p][i].flow>0)
{
if(relax(g[p][i].to,p,g[p][i].cost)&& !inq[g[p][i].to])
{
inq[g[p][i].to]=true;
q.push(g[p][i].to);
}
}
}
return dist[t]<1e18;
}
pii dfs(LL pos,LL t,LL fl)
{
if(pos==t) return mpr(fl,0);
vis[pos]=true;
for(LL i=cur[pos];i<g[pos].size();++i,++cur[pos]) if(!vis[g[pos][i].to]&&g[pos][i].flow>0&&dist[g[pos][i].to]==dist[pos]+g[pos][i].cost)
{
pii res=dfs(g[pos][i].to,t,min(fl,g[pos][i].flow));
if(res.fi>0)
{
res.se+=g[pos][i].cost*res.fi;
g[pos][i].flow-=res.fi;g[g[pos][i].to][g[pos][i].rev].flow+=res.fi;
vis[pos]=false;
return res;
}
}
vis[pos]=false;
return mpr(0,0);
}
pii mcmf(LL s,LL t)
{
pii ret=mpr(0,0);
while(spfa(s,t))
{
rep(i,n+3) cur[i]=0;
while(true)
{
pii val=dfs(s,t,1e18);
if(val.fi==0) break;
ret.fi+=val.fi;ret.se+=val.se;
}
}
return ret;
}
}
LL n,m,a[1010];
int main()
{
fileio();
cin>>n>>m;
repn(i,n) scanf("%lld",&a[i]);
LL ss=n+2,tt=n+3,inf=1e16;
minCostFlow::add_edge(ss,1,inf,0);minCostFlow::add_edge(n+1,tt,inf,0);
repn(i,n) minCostFlow::add_edge(i,i+1,inf-a[i],0);
rep(i,m)
{
LL x,y,z;
scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
minCostFlow::add_edge(x,y+1,inf,z);
}
minCostFlow::n=n+3;
cout<<minCostFlow::mcmf(ss,tt).se<<endl;
termin();
}