2023.3.14 日寄
\(~~~~\) π节快乐！
模拟赛
\(~~~~\) 没有题解的模拟赛……毫无意义！咕噜咕噜……
游戏
题意
\(~~~~\) 有 \(n\) 个数的序列 \(a\) 代表当前位置的怪物的血量，击败有 \(x\) 血的怪物需要 \(x\) 的代价。你有一个大招需要付出 \(W_b\) 的代价，可以击败连续的 \(k\) 个怪物。同时你还可以用 \(w_s\) 的代价交换两个相邻的怪物（被击败的怪物仍然占位，会影响相邻的判断）。求击败所有怪物的最小代价。
\(~~~~\) \(1\leq k\leq n\leq 10^6,1\leq a_i,w_s,w_b\leq 10^9\).
题解
\(~~~~\) 考虑不用大招那必定用 \(\sum a\) 的代价，那用大招就看我们可以节省多少代价。
\(~~~~\) 如果我们已经选出了 \(k\) 个怪物要击败，那必然我们会把他们交换到居中的位置（初一数学：绝对值在数轴上的几何意义）。那反过来如果我们确定了中间位置，我们必定就知道两侧要选 \(\frac{k}{2}\) 个数（具体视 \(k\) 的奇偶性需要微调。）
\(~~~~\) 那么枚举了分界线过后我们就会发现分界线左侧的数交换代价为每个数将要交换到的下标减去原始的下标乘以单次交换代价（即 \((aim-i)\times w_s\)）右边每个数的交换代价为原始下标减去目标下标 （即 \((i-aim)\times w_s\)），最后减去选中的数的 \(a\) 再加上 \(w_b\)，这就是可以节省的代价，求出这个东西的最小值即可。
\(~~~~\) 把上面这个东西拆开：所有目标位置的下标和对于固定分界线都是常数不管，那么左边单个数就是 \(-i\times w_s-a_i\)，右边单个数就是 \(i\times w_s-a_i\) ，那我们只需要选两边这两个东西前 \(\frac{k}{2}\) 小的求和即可，用权值线段树维护。
\(~~~~\) 注意数据范围可能需要开 __int128，但是好像数据没卡。
代码
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#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define PII pair<ll,ll>
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
using namespace std;
template<typename T>void read(T &x)
{
T f=1;x=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
x*=f;
}
ll n,k,Ws,Wb,arr[1000005];
ll brr[1000005],crr[1000005];
struct SegmentTree{
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
#define lson p<<1,l,mid
#define rson p<<1|1,mid+1,r
ll tr[4000005],Siz[4000005];
inline void pushUp(ll p)
{
tr[p]=tr[ls]+tr[rs];
Siz[p]=Siz[ls]+Siz[rs];
}
void Modify(ll p,ll l,ll r,ll aim,ll Val,ll Type)
{
if(l==r){Siz[p]+=Val;tr[p]+=Val*(Type==1?brr[l]:crr[l]);return;}
ll mid=(l+r)>>1;
if(aim<=mid) Modify(lson,aim,Val,Type);
if(mid<aim) Modify(rson,aim,Val,Type);
pushUp(p);
}
ll Query(ll p,ll l,ll r,ll K)
{
if(Siz[p]<K) return 1e18;
if(K==Siz[p]) return tr[p];
ll mid=(l+r)>>1;
if(Siz[ls]<K) return tr[ls]+Query(rson,K-Siz[ls]);
else return Query(lson,K);
}
#undef ls
#undef rs
#undef lson
#undef rson
}Seg1,Seg2;
ll LSiz,RSiz;
inline ll Calc(ll x)
{
return 1ll*Ws*(((x-LSiz+1+x)*LSiz/2)-((x+1+x+RSiz))*RSiz/2);
}
ll cnt1,cnt2;
inline ll ID1(ll x){x=-1ll*x*Ws-arr[x];return lower_bound(brr+1,brr+1+cnt1,x)-brr;}
inline ll ID2(ll x){x=+1ll*x*Ws-arr[x];return lower_bound(crr+1,crr+1+cnt2,x)-crr;}
int main() {
// freopen("game.in","r",stdin);
// freopen("game.out","w",stdout);
read(n);read(k);ll Sum=0;
for(ll i=1;i<=n;i++) read(arr[i]),Sum+=arr[i];
read(Ws);read(Wb);
for(ll i=1;i<=n;i++) crr[i]=1ll*i*Ws-arr[i],brr[i]=-1ll*i*Ws-arr[i];
sort(brr+1,brr+1+n); sort(crr+1,crr+1+n);
cnt1=unique(brr+1,brr+1+n)-brr-1;
cnt2=unique(crr+1,crr+1+n)-crr-1;
for(ll i=1;i<(k+1)/2;i++)
Seg1.Modify(1,1,cnt1,ID1(i),1,1);
for(ll i=(k+1)/2;i<=n;i++)
Seg2.Modify(1,1,cnt2,ID2(i),1,2);
LSiz=(k+1)/2,RSiz=k-LSiz;
ll Ans=0;
for(ll i=LSiz;i+RSiz<=n;i++)
{
Seg1.Modify(1,1,cnt1,ID1(i),1,1); Seg2.Modify(1,1,cnt2,ID2(i),-1,2);
Ans=min(Ans,Seg1.Query(1,1,cnt1,LSiz)+Seg2.Query(1,1,cnt2,RSiz)+Calc(i)+Wb);
}
printf("%lld",Sum+Ans);
return 0;
}
/*
瑶草一何碧，春入武陵溪。溪上桃花无数，花上有黄鹂。我欲穿花寻路，直入白云深处，浩气展虹霓。只恐花深里，红露湿人衣。
坐玉石，欹玉枕。拂金徽。谪仙何处，无人伴我白螺杯。我为灵芝仙草，不为朱唇丹脸，长啸亦何为。醉舞下山去，明月逐人归。
拆开贡献，枚举这个k的区间的中间位置，权值线段树求出两边前k小的值的和
*/
石子
\(~~~~\) 【道理已删除】
\(~~~~\) 没人说得清楚自己或者 std 为什么是对的。
划分 / 「Czech, Polish and Slovak Preparation Camp 2017, Day PL」 GCD-sum
题意
\(~~~~\) 把 \(n\) 个数划入 \(k\) 个集合，定义每个集合的权值为其中元素的 \(\gcd\)，划分的权值为所有集合权值的和，求对于 \(k\in [1,n]\) 每种情况最大的划分和。
\(~~~~\) \(1\leq n\leq 5\times 10^5，1\leq a_i\leq 10^{12}\).
题解
\(~~~~\) 贴个同学的题解 ，不过这位同学被公认 S 区可能有点问题（？）
代码
\(~~~~\) 贴的std，请不要问我 95~97 行它在干什么，我也想知道。
查看代码
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
long long n, x;
int k;
const long long MAXEL=1000LL*1000LL*1000LL*1000LL;
std::vector<long long> li, result;
std::vector<std::pair<long long, int> > kro;
long long nwd(long long a, long long b)
{
while (a != 0) {
b %= a;
std::swap(a, b);
}
return b;
}
int main()
{
std::ios_base::sync_with_stdio(0);
std::cin >> n;
result.resize(n+2);
for (int i = 0; i < n; i++) {
std::cin >> x;
li.emplace_back(x);
}
sort(li.begin(), li.end());
int ile = 0;
long long last = li.front();
for (auto l : li) {
if (l == last) {
ile++;
} else {
kro.emplace_back(last, ile);
ile = 1;
last = l;
}
}
kro.emplace_back(last, ile);
long long nw = 0;
long long sum = 0;
for (auto x : kro)
sum += x.first;
for (std::size_t i = 0; i < kro.size(); i++) {
long long tmp = nwd(nw, kro[i].first);
//std::cout<<i<<" tmp nw "<<tmp<<" "<<nw<<std::endl;
if (tmp != nw) {
long long max = -MAXEL;
for (std::size_t j = i; j < kro.size(); j++)
max = std::max(max, nwd(nw,kro[j].first ) - kro[j].first);
long long sum2 = sum + max;
//std::cout<<"m n "<<max<<" "<<nw<<" "<<sum<<std::endl;
result[kro.size()-i] = std::max(result[kro.size()-i] ,sum2);
result[kro.size()-i+1] = std::max(result[kro.size()-i+1] ,sum2-max+nw);
//std::cout<<"$result["<<kro.size()-i<<"]= "<<result[kro.size()-i]<<std::endl;
//std::cout<<"$result["<<kro.size()-i+1<<"]= "<<result[kro.size()-i+1]<<std::endl;
int ite = 0;
int poz = kro.size() - 1;
std::vector<long long> str;
while (true) {
while (poz >= int(i) && kro[poz].second == 1)
poz--;
if (poz < int(i))
break;
kro[poz].second--;
str.emplace_back(poz);
ite++;
sum2 += kro[poz].first;
result[kro.size()-i+ite] = std::max(result[kro.size()-i+ite],sum2);
result[kro.size()-i+ite+1] = std::max(result[kro.size()-i+ite+1],sum2-max+nw);
//std::cout<<"result["<<kro.size()-i+ite<<"]= "<<result[kro.size()-i+ite]<<std::endl;
//std::cout<<"result["<<kro.size()-i+ite+1<<"]= "<<result[kro.size()-i+ite+1]<<std::endl;
}
for(auto x:str)
kro[x].second++;
nw=tmp;
}
sum-=kro[i].first;//*kro[i].second;
}
sum=0;
for (auto x : li)
sum += x;
nw=0;
for (std::size_t i = 0; i < li.size(); i++) {
long long tmp = nwd(nw, li[i]);
if(tmp!=nw){
long long max=-MAXEL;
for(std::size_t j=i;j<li.size();j++){
max=std::max(max,nwd(li[i],nw))-li[i];
}
result[li.size()-i]=std::max(result[li.size()-i],sum+max);
}else{
result[li.size()-i]=std::max(result[li.size()-i],sum-li[i]+nw);
}
sum-=li[i];
nw=tmp;
}
for (int i=1;i<=n;i++) {
std::cout << result[i] << "\n";
}
}