相似矩阵

标签：特征值 lamda 相似矩阵 证明 ii 传递性 lamdaE

定义

A~B，即存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B

 

性质

1、传递性，A~B，B~C，则A~C

2、对称性，若A~B <=> B~A

3、反身性，A~A

 

若A~B则...

1、特征多项式相同，即|lamdaE-A|=|lamdaE-B|，AB有相同的特征值

证明：

 

对于任意lamda成立，那么当lamda取值使行列式为0时也成立，则特征值相同

 

 2、r(A)=r(B)

证明：

 

 

 引理：P为可逆矩阵，则P不影响所乘积的秩

 

3、A^n~B^n、A+kE~B+kE、A^(-1)~B^(-1)

证明：

 

 

 

4、∑a_ii=∑b_ii=∑lamda_i

证明：根据第一条加上特征值性质推导得出

 

5、|A|=|B|=∏λ_i

证明：|B|=|P^-1AP|=|P^-1|*|A|*|P|=|A|=∏λ_i

引理：|A|=∏λ_i 来自特征值推论

 

如何证明A~B？

利用传递性

A~Λ，且B~Λ，所以A~B

A~Λ，则称A可相似对角化

A~Λ  <=>  A有n个线性无关的特征向量

证明：

 

标签：特征值,lamda,相似矩阵,证明,ii,传递性,lamdaE
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