知识点为二分。
AcWing113.特殊排序
题目描述
有 \(N\) 个元素，编号 \(1,2..N\)，每一对元素之间的大小关系是确定的，关系具有反对称性，但不具有传递性。
注意：不存在两个元素大小相等的情况。
也就是说，元素的大小关系是 \(N\) 个点与 \(\frac{N×(N−1)}{2}\) 条有向边构成的任意有向图。
然而，这是一道交互式试题，这些关系不能一次性得知，你必须通过不超过 \(10000\) 次提问来获取信息，每次提问只能了解某两个元素之间的关系。
现在请你把这 \(N\) 个元素排成一行，使得每个元素都小于右边与它相邻的元素。
你可以通过我们预设的 \(bool\) 函数 \(compare\) 来获得两个元素之间的大小关系。
例如，编号为 \(a\) 和 \(b\) 的两个元素，如果元素 \(a\) 小于元素 \(b\)，则 \(compare(a,b)\) 返回 \(true\)，否则返回 \(false\)。
将 \(N\) 个元素排好序后，把他们的编号以数组的形式输出，如果答案不唯一，则输出任意一个均可。
数据范围
\(1≤N≤1000\)
输入样例
[[0, 1, 0], [0, 0, 0], [1, 1, 0]]
输出样例
[3, 1, 2]
解题思路
本题目除了二分，还可以借用归并排序的思路来求解
题目要求使用不超过 \(10000\) 次询问来获取信息，结合数据范围我们要确定 \(N\) 个元素可能的大小关系序列，需要将询问次数控制到 \(NlogN\) 以内。在具体的排序过程，使用插入排序。
假设现在已经确定了前 \(i\) 个数的顺序(左边元素小于右边相邻的元素)。现在我们有一个数 \(x\)，利用二分进行询问操作，如果 \(x\) 比中间的 \(\frac{i+1}{2}\) 位置上的数小，那么 \(\frac{i+1}{2}\) 的数到 \(x\) 为下降折线，反之为上升折线。如图所示。那么二分的时候，如果该位置的值大于 \(x\)，那么二分所找的一定在该位置的左边，而 \(x\) 应插入到折线上的极大值点处(并不代表 \(x\) 是极大值，不要弄混了)。这样就可以使用二分，确定一个小于 \(x\) 的位置，\(x\) 插入到该位置的右边。
C++代码
// Forward declaration of compare API.
// bool compare(int a, int b);
// return bool means whether a is less than b.
class Solution {
public:
vector<int> specialSort(int N) {
vector<int> res;
res.push_back(1);
for (int i = 2; i <= N; i ++)
{
int l = 0, r = res.size() - 1;
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
// res[mid] < i
if (compare(res[mid], i)) l = mid;
else r = mid - 1;
}
// 先放到最后
res.push_back(i);
// res[l]是最后小于i的数
// i插到res[l]的后面
for (int j = res.size() - 2; j > l; j --) swap(res[j], res[j + 1]);
// 边界条件，res[l]都大于i，那么i应和res[l]交换
if (compare(i, res[l])) swap(res[l], res[l + 1]);
}
return res;
}
};