逆序对

题目描述

猫猫 TOM 和小老鼠 JERRY 最近又较量上了，但是毕竟都是成年人，他们已经不喜欢再玩那种你追我赶的游戏，现在他们喜欢玩统计。

最近，TOM 老猫查阅到一个人类称之为“逆序对”的东西，这东西是这样定义的：对于给定的一段正整数序列，逆序对就是序列中 a_i>a_j 且 i<j 的有序对。知道这概念后，他们就比赛谁先算出给定的一段正整数序列中逆序对的数目。注意序列中可能有重复数字。

Update:数据已加强。

输入格式

第一行，一个数 n，表示序列中有 n个数。

第二行 n 个数，表示给定的序列。序列中每个数字不超过 10^9。

输出格式

输出序列中逆序对的数目。

样例 #1

样例输入 #1

6
5 4 2 6 3 1

样例输出 #1

11

提示

对于 25% 的数据，n <= 2500

对于 50% 的数据，n <= 4 * 10^4。

对于所有数据，n <= 5 * 10^5

请使用较快的输入输出

应该不会 O(n^2) 过 50 万吧 by chen_zhe

分析

归并排序解法

首先你需要知道什么是归并排序。然后，我们可以这样想：

如果我们想要将一个序列排成从小到大有序的，那么每次划分后合并时左右子区间都是从小到大排好序的，我们只需要统计右边区间每一个数分别会与左边区间产生多少逆序对即可。

不懂的话看栗子：

//在某个时候，左区间：  5 6 7  下标为i
//           右区间：  1 2 9  下标为j
//          
//这个时候我们进行合并：
//step 1：由于 5>1，所以产生了逆序对，这里，我们发现，左区间所有还没有被合并的数都比 1 大，所以1与左区间所有元素共产生了 3 个逆序对(即tot_numleft-i+1对)，统计答案并合并 1 
//step 2：由于 5>2，由上产生了3对逆序对，统计答案并合并 2
//step 3：由于 5<9, 没有逆序对产生，右区间下标 j++
//step 4：由于 6<9, 没有逆序对产生，右区间下标 j++
//step 5：由于 7<9, 没有逆序对产生，右区间下标 j++
//step 6：由于右区间已经结束，正常执行合并左区间剩余，结束

//PS： tot_numleft=3，即左区间总元素个数

看懂了吧(莫名自信)

由于归并排序没有什么坑，正常执行并统计即可，注意 答案会爆 int ！我们需要使用longlong存，如果使用 printf输出，那么可别忘了用%lld！

复杂度与普通的归并排序相同，为O(Nlog_2N)

效率：**1682ms/4.43MB ** (数据更新之后)

提交答案

Code：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int n,a[500010],c[500010];
long long ans;

void msort(int b,int e)//归并排序
{
    if(b==e)  
		return;
    int mid=(b+e)/2,i=b,j=mid+1,k=b;
    msort(b,mid),msort(mid+1,e);
    //将两组数据按顺序填入c[k++]
    while(i<=mid&&j<=e)
    	if(a[i]<=a[j])
    		c[k++]=a[i++];
    	else
    		c[k++]=a[j++],ans+=mid-i+1;//统计答案
    //讲剩余的数据填入c[k++]
    while(i<=mid)
    	c[k++]=a[i++];
    while(j<=e)
    	c[k++]=a[j++];
    //将数据拷贝回原数组
    for(int l=b;l<=e;l++)
    	a[l]=c[l];
} 

int main()
{
    scanf("%d",&n); 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    	scanf("%d",&a[i]);
    msort(1,n);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}