ACM-ICPC 2018 沈阳赛区现场赛 K. Let the Flames Begin （约瑟夫环问题 n个人, 报数为k出环， 第 m 个出圈的人是谁）

题意：

 n 个人围成一个圈，从 1 开始报到第 k 个人出环，问第 m 个出环的人是谁，n、m、k <= 1e18 且 min（m，k）<= 2e6。

题解：

约瑟夫环的出队是有O(n)的递推算法的：f(n) = (f(n-1)+k-1)%n+1    约瑟夫环数学推导，但这是m=n的情况。

 

我们可以得到O（m）的递推公式 f[n][m] = （f[n-1][m-1] + k - 1）% n + 1，初始状态 f[n-m+1][1]，

1. 当 m >=k的时候,用上述公式计算。
2. 当m <k的时候，递推式的取膜很多情况下没有用到，可以用乘法代替加法加速递推的过程：当前状态为f[a][b] = c， 经过 x 次加法后的状态为 f[a+x][b+x] = c + k * x，假设经过 x 次加法之后需要取模，有c + k * x > a + x   →   x > （a - c）/ （k - 1） 得到该不等式后便可以计算出另一种情况了。

还要注意 k = 1 需要特判。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define mst(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define pi acos(-1)
#define pii pair<int,int>
#define pb push_back
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-6;
const int MAXN = 2e6 + 10;
const int MAXM = 1e8 + 10;
const ll mod = 1e9 + 7;

ll f[MAXN];

int main()
{

    int cas = 1;
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        ll n,m,k;
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
        if(m <= k)
        {
            f[1] = k % (n - m + 1);
            if(f[1] == 0)
                f[1] = n - m + 1;
            for(ll i = 2; i <= m; i++)
                f[i] = (f[i - 1] + k - 1) % (n - m + i) + 1;
            printf("%lld\n",f[m]);
        }
        else
        {
            if(k == 1)
                printf("%lld\n",m);
            else
            {
                ll a = n - m + 1, b = 1;
                ll c = k % a, x = 0;
                if(c == 0)
                    c = a;
                while(b + x <= m)
                {
                    a += x, b += x, c += k * x;
                    c %= a;
                    if(c == 0)
                        c = a;
                    x = (a - c) / (k - 1) + 1;
                }
                c += (m - b) * k;
                c %= n;
                if(c == 0)
                    c = n;
                printf("%lld\n",c);
            }
        }
    }
    return 0;
}