上篇文章强化学习——时序差分 (TD) 控制算法 Sarsa 和 Q-Learning我们主要介绍了 Sarsa 和 Q-Learning 两种时序差分控制算法，在这两种算法内部都要维护一张 Q 表格，对于小型的强化学习问题是非常灵活高效的。但是在状态和可选动作非常多的问题中，这张Q表格就变得异常巨大，甚至超出内存，而且查找效率极其低下，从而限制了时序差分的应用场景。近些年来，随着神经网络的兴起，基于深度学习的强化学习称为了主流，也就是深度强化学习（DRL）。
一、函数逼近介绍
我们知道限制 Sarsa 和 Q-Learning 的应用场景原因是需要维护一张巨大的 Q 表格，那么我们能不能用其他的方式来代替 Q表格呢？很自然的，就想到了函数。
也就是说我们可以用一个函数来代替 Q 表格，不断更新
下面是几种不同的拟合方式：
第一种函数接受当前的 状态 S 作为输入，输出拟合后的价值函数
第二种函数同时接受 状态 S 和 动作 a 作为输入，输出拟合后的动作价值函数
第三种函数接受状态 S，输出每个动作对应的动作价值函数 q
常见逼近函数有线性特征组合方式、神经网络、决策树、最近邻等，在这里我们只讨论可微分的拟合函数：线性特征组合和神经网络两种方式。
1、知道真实 V 的函数逼近
对于给定的一个状态 S 我们假定我们知道真实的 ，然后我们经过拟合得到
，于是我们就可以使用均方差来计算损失
利用梯度下降去找到局部最小值：
我们可以提取一些特征向量来表示当前的 状态 S，比如对于 gym 的 CartPole 环境，我们可提取的特征有推车的位置、推车的速度、木杆的角度、木杆的角速度等
$$ x(s) = (x_1(s), x_2(s), \cdots,x_n(s))^T $$
此时价值函数 就可以用线性特征组合表示：
此时的损失函数为：
因此更新规则为：
二、预测过程中的价值函数逼近
因为我们函数逼近的就是 真实的状态价值，所以在实际的强化学习问题中是没有 的，只有奖励。所以在函数逼近过程的监督数据为：
所以对于蒙特卡洛我们有：
其中奖励 是无偏（unbiased）的：
对于TD算法，我们使用 来代替 TD Target。所以我们在价值函数逼近（VFA）使用的训练数据如下所示：
于是对于 TD(0) 在预测过程的函数逼近有：
因为TD中的 Target 中包含了预测的 ，所以它对于真实的
是有偏（biased）的，因为我们的监督数据是我们估计出来的，而不是真实的数据。也就是
三、控制过程中的价值函数逼近
类比于MC 和 TD 在使用 Q 表格时的更新公式，对于策略控制过程我们可以得到如下公式。和上面预测过程一样，我们没有真实的
- 对于 MC，Target 是
- 对于 Sarsa，TD Target 是
- 对于 Q-Learning，TD Target 是
四、关于收敛的问题
在上图中，对于使用 Q 表格的问题，不管是MC还是 Sarsa 和 Q-Learning 都能找到最优状态价值。如果是一个大规模的环境，我们采用线性特征拟合，其中MC 和 Sarsa 是可以找到一个近似最优解的。当使用非线性拟合（如神经网络），这三种算法都很难保证能找到一个最优解。
其实对于off-policy 的TD Learning强化学习过程收敛是很困难的，主要有以下原因：
- 使用函数估计：对于 Sarsa 和 Q-Learning 中价值函数的的近似，其监督数据 Target 是不等于真实值的，因为TD Target 中包含了需要优化的 参数 w，也叫作 半梯度TD，其中会存在误差。
- Bootstrapping：在更新式子中，上面红色字体过程中有 贝尔曼近似过程，也就是使用之前的估计来估计当前的函数，这个过程中也引入了不确定因素。（在这个过程中MC回比TD好一点，因为MC中代替 Target 的
- Off-policy 训练：对于 off-policy 策略控制过程中，我们使用 behavior policy 来采集数据，在优化的时候使用另外的 target policy 策略来优化，两种不同的策略会导致价值函数的估计变的很不准确。
上面三个因素就导致了强化学习训练的死亡三角，也是强化学习相对于监督学习训练更加困难的原因。
下一篇就来介绍本系列的第一个深度强化学习算法 Deep Q-Learning（DQN）
参考资料：
- B站周老师的 强化学习纲要第四节上