康托展开
名词解释:
康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。
---康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。
原理介绍
\(X = a_{n}(n-1)!+a_{n-1}(n-2)!+... +a_{1} \times 0!\)
其中,\(a_i\) 为整数,并且\(0\leq a_{i}<i,1\leq i\leq n\) 。
表示原数的第i位在当前未出现的元素中是排在第几个
康托展开的逆运算
既然康托展开是一个双射，那么一定可以通过康托展开值求出原排列，即可以求出n的全排列中第x大排列。
如n=5,x=96时：
首先用96-1得到95，说明x之前有95个排列.(将此数本身减去1)用95去除4! 得到3余23，说明有3个数比第1位小，所以第一位是4.用23去除3! 得到3余5，说明有3个数比第2位小，所以是4，但是4已出现过，因此是5.用5去除2!得到2余1，类似地，这一位是3.用1去除1!得到1余0，这一位是2.最后一位只能是1.所以这个数是45321。
按以上方法可以得出通用的算法。
康托展开
再举个例子说明。
在{\({1, 2, 3, 4,5}\)}5个数的排列组合中，计算\(34152\)的康托展开值。
首位是\(3\)，则小于\(3\)的数有两个，为\(1\)和\(2\)，\(a[5]=2\)，则首位小于3的所有排列组合为\(a[5]\times (5-1)!\)
第二位是4，由于第一位小于\(4\),{\({1,2,3}\)}中一定会有\(1\)个充当第一位，所以排在\(4\)之下的只剩\(2\)个，所以其实计算的是在第二位之后小于\(4\)的个数。因此\(a[4]=2\)。
第三位是1，则在其之后小于1的数有0个，所以\(a[3]=0\)。
第四位是5，则在其之后小于5的数有1个，为2，所以\(a[2]=1\)。
最后一位就不用计算啦，因为在它之后已经没有数了，所以\(a[1]\)固定为0
根据公式：
所以比34152小的组合有61个，即34152是排第62。
代码实现
#include<iostream>
using namespace std;
const int factorial[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800};//阶乘0-10
int cantor(int a[],int n){//cantor展开,n表示是n位的全排列，a[]表示全排列的数（用数组表示）
int ans=0,sum=0;
for(int i=1;i<n;i++){
for(int j=i+1;j<=n;j++)
if(a[j]<a[i])
sum++;
ans+=sum*factorial[n-i];//累积
sum=0;//计数器归零
}
return ans+1;
}
int main(){
int sb[12],gs;
cin>>gs;
for(int i=1;i<=gs;i++)
cin>>sb[i];
cout<<cantor(sb,gs);//输出该集合在全排列所在位置
return 0;
}
康托逆展开
一开始已经提过了，康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，因此是可逆的。即对于上述例子，在给出61可以算出起排列组合为34152。由上述的计算过程可以容易的逆推回来.
代码实现
static const int FAC[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880}; // 阶乘
//康托展开逆运算
void decantor(int x, int n)
{
vector<int> v; // 存放当前可选数
vector<int> a; // 所求排列组合
for(int i=1;i<=n;i++)
v.push_back(i);
for(int i=n;i>=1;i--)
{
int r = x % FAC[i-1];
int t = x / FAC[i-1];
x = r;
sort(v.begin(),v.end());// 从小到大排序
a.push_back(v[t]); // 剩余数里第t+1个数为当前位
v.erase(v.begin()+t); // 移除选做当前位的数
}
}
就到这里啦!
标签：排列,int,times,34152,展开,康托 From： https://www.cnblogs.com/zhywyt/p/17090301.html