【题解】P4768 [NOI2018] 归程
作为一道 NOI 的 D1T1，放在现在或许难度不够（？），但可能在 Kruskal 重构树还未普及的当时，还是相对来说比较难的一道题吧。
写篇题解记录一下。
题目链接
题意概述
给定一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，对于每条边有两个参数：长度 \(l\) 和海拔 \(a\)。
有 \(Q\) 组询问，每组询问给定 \(v,p\)，表示每一天以 \(v\) 作为起点，\(1\) 作为终点，问从走到的第一条海拔 \(\le p\) 的边开始，在它及它之后走到的所有边的边权之和最小是多少。
本题多测。
思路分析
考虑将每一天的所有路程分为两部分：先从 \(v\) 走到最后一条海拔 \(> p\) 的边 \(u\)，再从 \(u\) 走到 \(1\)。
题目要求的就是从 \(u\) 到 \(1\) 的边权之和最小是多少。
我们首先思考这里的 \(u\) 需要满足什么条件。
有以下两点：
- \(v\) 不经过海拔 \(\le p\) 的边能够到达 \(u\)；
- \(u\) 到 \(1\) 的边权和最小。
对于第一点，可以发现它其实是一个比较板的 Kruskal 重构树的模型。
由于是“不经过海拔 \(\le p\) 的边”，那么实际上就相当于“经过的边只有海拔 \(>p\) 的”。
以海拔为边权建图，问题就转化为，从 \(v\) 开始，只经过边权 \(>p\) 的边能够到达哪些点。
显然我们可以直接将边权从大到小排序，然后建立 Kruskal 重构树。
若不考虑边权 \(>p\) 的限制，那么对于一个点 \(u\) 能够到达的点就是和它在一个联通块内的所有点。
再考虑边权的限制，根据 Kruskal 的性质，从叶子节点到根节点一路往上走，点权一定是递减的。
那么根据这个性质，从一个点 \(u\) 出发能够到达的边权 \(>p\) 的点一定是从 \(u\) 到根节点的路径上的某个点 \(x\) 的子树内所有的点。且这个 \(x\) 的点权一定是从 \(u\) 走到根节点的路径上，最后一个点权 \(>p\) 的。
换句话说，假如从 \(u\) 到根节点的路径上，\(x\) 的点权 \(>p\)，且 \(x\) 之后点的点权都 \(\le p\)，那么 \(x\) 的子树内的所有点就是符合题意的点。
这一点很容易证明：
- 首先证明 \(x\) 子树内的所有点一定满足题意。这个根据 Kruskal 的性质，即若 \(x\) 的子树中存在两点 \(u,v\)，那么实际的图上 \(u\) 到 \(v\) 的路径上最小边权的最大值一定等于 \(x\) 的点权。所以 \(x\) 的点权是其子树中任意两点的路径上的最小边权最大值，那么既然最小边权都 \(>p\) 了，那么其它的也一定 \(>p\)，所以满足题意；
- 再证明从 \(u\) 到根节点的路径上的其它点都不满足题意。
- 对于 \(x\) 之前的点，显然 \(x\) 的子树完全包含它之前的点，那么显然将答案设在 \(x\) 之前的点会漏掉一些点，所以不优。
- 对于 \(x\) 之后的点，由于其点权一定 \(\le p\)，那么其子树内的任意两点的最小边权最大值一定 \(\le p\)，不符合要求边权 \(>p\) 的限制，所以只有 \(x\) 子树内的点满足条件。
那么证明了答案在 \(x\)，那么怎么找到 \(x\) 呢。其实可以直接树上倍增。
预处理出来一个数组 \(fa_{x,i}\) 表示从 \(x\) 向上走 \(2^i\) 步能够到哪。然后我们往上倍增的跳，假设当前在 \(now\)，只要 \(fa_{now,i}\) 的点权 \(>p\) 就跳，反之不跳。即可找到满足条件的 \(x\)。
我们找到了 \(x\)，相当于只完成了第一点。
即符合第一个条件的点一定在 \(x\) 的子树内。考虑第二点，满足条件的 \(u\) 就是 \(x\) 子树内到 \(1\) 的最短路最小的点。
从一个点到 \(1\) 的最短路可以直接建立反图 dijkstra 求出。
而如何判断 \(x\) 子树内哪个点距离 \(1\) 最近呢？
直接暴力枚举吗？显然时间复杂度炸了。
实际上我们可以直接处理出来一个数组 \(mi_{now}\) 表示 \(now\) 所在子树内距离 \(1\) 最近的点的距离是多少。
由于重构树是个二叉树，那么可以直接用类似线段树 pushup 的操作求，即 \(mi_{now}=\min\{mi_{now},mi_{ls},mi_{rs}\}\)。
总复杂度 \(O(T n\log n)\)。
易错点
- 注意多测清空；
- 注意有些数组要开二倍空间；
- 注意重构树的边比原树多了 \(n-1\) 条；
- 注意强制在线 \(lastans\) 变量的更新；
代码实现
//luoguP4768
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=2e5+10;
int fa[maxn<<1],vis[maxn<<1],dis[maxn],sum[maxn<<1],val[maxn<<1];
int mi[maxn<<1][25],f[maxn<<1][25],dep[maxn<<1];
int n,m,tot;
struct nod{int u,v,w;}e[maxn<<1];
struct Node{
int v,w;
bool operator<(const Node &t)const
{
return w>t.w;
}
};
basic_string<Node>edge[maxn];
basic_string<int>edge2[maxn<<1];
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
return x*f;
}
int cmp(nod a,nod b){return a.w>b.w;}
int find(int x)
{
if(x!=fa[x])fa[x]=find(fa[x]);
return fa[x];
}
void add(int x,int y)
{
x=find(x);y=find(y);
fa[x]=y;
}
void dfs(int now)
{
for(int nxt:edge2[now])
{
dfs(nxt);
sum[now]=min(sum[now],sum[nxt]);
}
}
void Kruskal()
{
for(int i=1;i<=(n<<1);i++)fa[i]=i;
sort(e+1,e+m+1,cmp);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
if(find(e[i].u)==find(e[i].v))continue;
int x=find(e[i].u),y=find(e[i].v);
add(e[i].u,e[i].v);
val[++tot]=e[i].w;
fa[x]=fa[y]=fa[tot]=tot;
edge2[tot]+=x;edge2[tot]+=y;
}
}
void dijkstra(int s)
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i=1;i<=n;i++)dis[i]=(1ll<<60);
dis[s]=0;
priority_queue<Node>q;
q.push(Node{s,dis[s]});
while(!q.empty())
{
Node now=q.top();
q.pop();
if(vis[now.v])continue;
vis[now.v]++;
for(Node y:edge[now.v])
{
if(dis[y.v]>dis[now.v]+y.w)
{
dis[y.v]=dis[now.v]+y.w;
q.push(Node{y.v,dis[y.v]});
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=dis[i];
}
void dfs2(int x,int fath)
{
dep[x]=dep[fath]+1;
mi[x][0]=val[fa[x]];
f[x][0]=fath;
for(int i=1;i<=20;i++)
{
f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
mi[x][i]=min(mi[x][i],mi[f[x][i-1]][i-1]);
}
for(int y:edge2[x])
{
if(y==fath)continue;
dfs2(y,x);
}
}
signed main()
{
int T=read();
while(T--)
{
for(int i=1;i<=n;i++)edge[i].clear();
for(int i=1;i<=(n<<1);i++)edge2[i].clear();
memset(dep,0,sizeof(dep));
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u,v,l,a;
u=read();v=read();l=read();a=read();
e[i]=nod{u,v,a};
edge[u]+=Node{v,l};
edge[v]+=Node{u,l};
}
dijkstra(1);
tot=n;
Kruskal();
for(int i=n+1;i<=(n<<1);i++)sum[i]=(1ll<<60);
dfs(tot);
dfs2(tot,0);
int q=read(),k=read(),s=read();
int lastans=0;
while(q--)
{
int v0=read(),p0=read();
int v=(v0+k*lastans-1)%n+1;
int p=(p0+k*lastans)%(s+1);
int now=v;
for(int i=20;i>=0;i--)
{
int cha=dep[now]-dep[tot];
if((cha>=(1<<i))&&val[f[now][i]]>p)
{
now=f[now][i];
}
}
cout<<sum[now]<<'\n';
lastans=sum[now];
}
}
return 0;
}