考虑每次反弹后，球的运动轨迹都会偏移 \(2\beta\)，总偏移量即为 \(2k\beta\)，而最后需要回到原点，因此 \(360|2k\beta\)，简单求 \(\gcd\) 即可。
设 \(ans_k\) 表示出现过 \(k\) 连胜的方案数，考虑容斥，枚举出现了几波 \(k\) 连胜，那么显然有
\[ans_k=\sum(-1)^{i+1}{{n-m+1}\choose i}{{n-i\times k}\choose n-m} \]答案为 \(ans_k-ans_{k+1}\)。
设 \(dp_i\) 表示还有 \(i\) 次重来机会时的期望得分，用单调性优化转移，询问时把 \(a_x+a_y\) 与 \(dp_{c-1}\) 比大小。
考虑最小割模型，割掉点 \(v_{i,p}\) 表示对点 \(i\) 放弃距离为 \(p\) 的收入，割掉点 \(u_i\) 表示加强点 \(i\) 的安全程度。建边方式如下：
-
源点向每个 \(v_{i,p}\) 连边 \(v_p-v_{p-1}\)，表示放弃该点损失的收入；
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每个 \(v_{i,p}\) 向 \(v_{i,p-1}\) 连边 inf，表示必须先割 \(v_{i,p}\) 才能割 \(v_{i,p-1}\)；
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\(v_{i,p}\) 向所有距离 \(i\) 为 \(p\) 的点连边 inf；
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\(u_i\) 向汇点连边 \(w_i\)，表示加强该点所需的代价。
跑最小割即为答案。
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