CodeForces - 1225C p-binary

题解：二进制 + 思维

由题意得：

让我们求出K的最小值使得\(\sum_{i=1}^{k}2^{a^i}+p=n\)成立，将式子改变一下形式得到\(n-k*p=\sum_{i=1}^{k}2^{a^i}\),所以我们可以知道\(n-k*p\)可以由K个\(2^i\)构成，并且题目\(2^i\)可以是重复的，但是K是不是有限制呢？还是说就这么简单？我们来看一个例子，假设\(n=24，p=1\)

\(24-1*1=23 = 2^4 + 2^2 +2^1 + 2^0\)，我们发现显然k=1太小了，因为lowbit(23)=4肯定>k=1

\(24-3*1=21 = 2^4 + 2^2 + 2^0\)，lowbit(21)=3=k,说明这个时候K=3是满足的

\(24-5*1=19 = 2^4 + 2^1 + 2^0\)，lowbit(19)=3<k,但是题目表示可以重复，所以\(19 = 2^3 + 2^3+ 2^0 +2^0 + 2^0\)，我们可以把大的分解，说明这个时候K=5是满足的，所以我们找到了K的下界，\(k>=lowbit(n-k*p)\)

\(24-12*1=12 = 2^3 + 2^2= \underbrace{2^0+2^0+...+2^0}_{12个}\),这个时候K=12也是满足的条件的

\(24-13*1=11 = 2^3 + 2^1 + 2^0= \underbrace{2^0+2^0+...+2^0}_{11个}\),这个时候k=13答案是不合法的，因为11<13，把一个二进制分解的再小也只能是\(2^0\),所以我们找到了K的上界，\(k<=n-k*p\)

综上：我们找到了K的限制条件\(lowbit(n-k*p)<=k<=n-k*p\)

#include <bits/stdc++.h>
#define Zeoy std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0)
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define endl '\n'
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-9;
const int N = 2e5 + 10;
int lowbit(int x)               //计算x在二进制形式下1的个数
{
    int cnt = 0;
    while (x)
    {
        x -= (x & -x);
        cnt++;
    }
    return cnt;
}
int main(void)
{
    Zeoy;
    int t = 1;
    while (t--)
    {
        ll n, p;
        cin >> n >> p;
        int flag = 0;
        for (int i = 1; i <= n - i * p; ++i)
        {
            if (i >= lowbit(n - i * p))
            {
                flag = 1;
                cout << i << endl;
                break;
            }
        }
        if (!flag)
            cout << "-1\n";
    }
    return 0;
}