[ABC252E] Road Reduction Solution

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题面

给定 $ n $ 个点 $ m $ 条边的无向连通简单图，每条边为 $ a_i $ 到 $ b_i $，权值为 $ c_i $。你需要构造一棵生成树，最小化点 $ 1 $ 在生成树上到其它所有点的距离和，输出生成树的所有边的序号。如果有多个方案随便输出一个即可。

Solution

模板题，最短路生成树。

以 $ 1 $ 为原点跑一遍单源最短路，也就是 Dijkstra，我们在每次松弛操作的时候记录一下是通过哪条边松弛的。最后这些边将恰好组成一棵生成树，直接输出这些边的序号即可。

大概的证明可以感性理解一下，当我们用点 $ s $ 的边去更新 $ dis(t) $ 的时候，显然此时 $ s $ 一定已经被更新过了，也就是已经和 $ 1 $ 连结了，所以保留当前这条边即可，这样一定会形成一个树形结构。而我们跑的是最短路，这棵生成树也一定是最优的。

Code

#define _USE_MATH_DEFINES
#include <bits/stdc++.h>

#define PI M_PI
#define E M_E
#define npt nullptr
#define SON i->to
#define OPNEW void* operator new(size_t)
#define ROPNEW(arr) void* Edge::operator new(size_t){static Edge* P = arr; return P++;}

using namespace std;

mt19937 rnd(random_device{}());
int rndd(int l, int r){return rnd() % (r - l + 1) + l;}
bool rnddd(int x){return rndd(1, 100) <= x;}

typedef unsigned int uint;
typedef unsigned long long unll;
typedef long long ll;
typedef long double ld;

template < typename T = int >
inline T read(void);

struct Edge{
    Edge* nxt;
    int to;
    int val;
    int idx;
    OPNEW;
}ed[410000];
ROPNEW(ed);
Edge* head[210000];

int N, M;
ll dis[210000];
bool vis[210000];
int idx[210000];

void Dijk(void){
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    priority_queue < pair < ll, int >, vector < pair < ll, int> >, greater < pair < ll, int > > > cur;
    dis[1] = 0, cur.push({dis[1], 1});
    while(!cur.empty()){
        int tp = cur.top().second; cur.pop();
        if(vis[tp])continue;
        vis[tp] = true;
        for(auto i = head[tp]; i; i = i->nxt)
            if(dis[tp] + i->val < dis[SON])
                dis[SON] = dis[tp] + i->val, idx[SON] = i->idx, cur.push({dis[SON], SON});
    }
}

int main(){
    // freopen("random_01.txt", "r", stdin);
    // freopen("out.txt", "w", stdout);
    N = read(), M = read();
    for(int i = 1; i <= M; ++i){
        int s = read(), t = read(), v = read();
        head[s] = new Edge{head[s], t, v, i};
        head[t] = new Edge{head[t], s, v, i};
    }Dijk();
    for(int i = 2; i <= N; ++i)printf("%d%c", idx[i], i == N ? '\n' : ' ');
    fprintf(stderr, "Time: %.6lf\n", (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC);
    return 0;
}

template < typename T >
inline T read(void){
    T ret(0);
    int flag(1);
    char c = getchar();
    while(c != '-' && !isdigit(c))c = getchar();
    if(c == '-')flag = -1, c = getchar();
    while(isdigit(c)){
        ret *= 10;
        ret += int(c - '0');
        c = getchar();
    }
    ret *= flag;
    return ret;
}

UPD

update-2022_12_03 初稿