P1966 [NOIP2013 提高组] 火柴排队

有两盒火柴，每盒装有 \(n\) 根火柴，每根火柴都有一个高度。 现在将每盒中的火柴各自排成一列， 同一列火柴的高度互不相同。其中 \(a_i\) 表示第一列火柴中第 \(i\) 个火柴的高度，\(b_i\) 表示第二列火柴中第 \(i\) 个火柴的高度。

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，通过交换使得 \(\sum (a_i-b_i)^2\) 最小。求得到这个最小的距离，最少需要交换多少次，输出这个最小交换次数对 \(10^8-3\) 取模的结果。

\(1 \leq n \leq 10^5\)，\(0 \leq\) 火柴高度 \(< 2^{31}\)。

首先交换 \(a,b\) 和只交换 \(a/b\) 是等价的。然后设 \(rank(a_i/b_i)\) 表示在对应序列中的排名，那么交换得到的序列若有 \(rank(a_i)==rank(b_j)\) 则为最优。（然而这些结论都是口胡的）

然后就构造序列 \(c\) ，设使得每一对 \(rank(a_i)==rank(b_j)\) 都有 \(c[i]=j\) ,那么这个序列的逆序对就是答案（其实是类似冒泡排序交换数，然而它又等于逆序对数），然后就分治求逆序对即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,a[100005],b[100005],ans;
pair<int,int> a1[100005],b1[100005];

void merge(int l,int r)
{
	if(l>=r)
		return;
	int mid=(l+r)/2;
	merge(l,mid);
	merge(mid+1,r);
	int i=l,j=mid+1;
	for(int k=l;k<=r;++k)
	{
		if(j>r || i<=mid && a[i]<=a[j])
			b[k]=a[i++];
		else
		{
			b[k]=a[j++];ans+=mid-i+1;
			ans%=99999997;
		}
	}
	for(int k=l;k<=r;++k)
		a[k]=b[k];
	return;
}



int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		int c;
		scanf("%d",&c);
		a1[i]=make_pair(c,i);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		int c;
		scanf("%d",&c);
		b1[i]=make_pair(c,i);
	}
	sort(a1+1,a1+n+1);
	sort(b1+1,b1+n+1);
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		a[a1[i].second]=b1[i].second;
	}
	merge(1,n);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}