区分一维和二维
一维和二维的区分，并不是体现在数组的维数上！！！
而是体现在概念上：
二维指的是下标体现了两个方面：
- 物品的选择
- 关于背包容量
一维指下标仅代表：
- 背包的容量
一维和二维的代码
二维
dp[i][j]表示 从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，背包价值总和最大是dp[i][j]
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
一维
dp[j]表示 背包容量为j 所能放的最大价值为dp[j]
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
二维优化到一维
关于一维的遍历顺序
- 背包的遍历顺序必须是
倒序
有两种理解方式：
-
正序会破坏上一层的状态
-
正序会导致重复放入同一件物品
正序会破坏上一层的状态
二维图示：
由此可见，
二维时，dp[i][j]只与上一层左上角部分状态有关系，不能破坏上一层状态；
一维时，当上一层状态压缩到这一层，也就是指dp[0-j]这一部分其实是上一层的状态不可以破坏，那么只能从后向前遍历。
正序会导致重复放入同一件物品
举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 5
如果正序遍历
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 5
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 10
此时dp[2]就已经是10了，意味着物品0被放入了两次，因此不能正序遍历
- 既然会重复放入，由此可以引申出
完全背包的写法
// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
关于背包和物品的嵌套顺序
- 二维： 可以是背包嵌套物品，也可以是物品嵌套背包
- 一维：只能是物品嵌套背包
由于背包一定是从后往前遍历，那么如果是背包嵌套物品，会导致背包只有一个物品
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);中 先背包容量使得没有前一层状态
例题：LC474 一和零
题目
https://leetcode.cn/problems/ones-and-zeroes/
You are given an array of binary strings strs and two integers m and n.
Return the size of the largest subset of strs such that there are at most m 0's and n 1's in the subset.
A set x is a subset of a set y if all elements of x are also elements of y.
示例 1：
输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。示例 2：
输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
输出：2
解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。
Constraints:
- 1 <= strs.length <= 600
- 1 <= strs[i].length <= 100
- strs[i] consists only of digits '0' and '1'.
- 1 <= m, n <= 100
MY
我的错误在于没有正确理解背包的优化所在。
思路
这里背包的要求有两个要求，这是一个二维容量的背包：m个0，n个1
class Solution {
public:
int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int> (n + 1, 0)); // 默认初始化0
for (string str : strs) { // 遍历物品
int oneNum = 0, zeroNum = 0;
for (char c : str) {
if (c == '0') zeroNum++;
else oneNum++;
}
for (int i = m; i >= zeroNum; i--) { // 遍历背包容量且从后向前遍历
for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
}
}
}
return dp[m][n];
}
};
- 参考《代码随想录》