标签：approx frac 电阻 跨导 mb 单极 电路 mr 放大器

介绍放大电路的结论，并做总结。

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共源极（CS）

电路的构成为：MOS管、上拉电阻\(R_D\)、下拉电阻\(R_S\)。按考虑参数的复杂程度进行如下分析。

MOS视为理想受控源

跨导及放大系数

因为是共源，所以源极下拉电阻是输入和输出回路公用的，总是可以等效为管子的跨导变化。
设管子的自身跨导为\(g_m\)，源极下拉电阻为\(R_S\)。
分析过程为：输入栅极到地的回路，共经过\(g_m\)和\(R_S\)，这两者电阻串联分压（也即电导并联），所以分到MOS上的电压为：

\[v_{gs}=v_i\frac{1/g_m}{1/g_m+R_S},v_{gs}'=v_i \]

所以跨导修正为：$$g_mv_{gs}=g_m'v_{gs}'\implies g_m'=g_m||\frac1{R_S}=\frac1{\frac1{g_m}+R_S}=\frac{g_m}{1+g_mR_S}$$
定义源极修正函数为：

\[g_m^s(g_m)=g_m||\frac1{R_S}=\frac{g_m}{1+g_mR_S} \]

只要是一端接漏，一端接交流地的，都是漏极上拉电阻。只有漏极上拉电阻是输出回路独占的，因此其与输出特性有关。等效后的跨阻为\(g_m'\)，因为上拉实际接的是电源但是交流等效于地，所以是反相。因此放大系数为：

\[A_v=\frac{v_o}{v_i}=-g_m'R_D \]

输出电阻

输出电阻为：

\[R_o=R_D \]

考虑MOS的漏源电阻

跨导及放大系数

如果考虑MOS的输出电阻\(r_o=r_{ds}\)，那么这个电阻与受控电流源并联，理想情况下为无穷大，所以将这个电阻视作电流源内阻。
显然，\(R_D\)对MOS特性不会有影响。而电流源的电流被输出电阻削弱了，电流源输出给外部的实际值为：

\[I_{in}=I_{source}\frac{r_o}{r_o+R_S} \]

因为跨导是电流作分子，所以跨导的变化也同上。所以定义内阻修正函数为：

\[g_m^{src}(g_m)=g_m\frac{r_o}{r_o+R_S} \]

在理想受控源的条件下，\(g_m^{src}(g_m)=1\)。因为\(r_o\)视作电流源内阻，电流经过内阻才能输出给外部，所以这个修正应该是最早出现的。
所以跨导修正为为：

\[g_m'=g_m^{src}(g_m^s(g_m))=\frac{g_m\frac{r_o}{r_o+R_S}}{1+g_m\frac{r_o}{r_o+R_S}R_S} =\frac{g_mr_o}{R_S+r_o+g_mR_Sr_o}\]

一般可以认为\(g_mr_o\gg1\)，所以上式近似为：

\[g_m'\approx\frac{g_mr_o}{r_o+g_mR_Sr_o}=\frac{g_m}{1+g_mR_S} \]

此时退化成与只做源极修正一致的表达式。
放大系数仍然为\(A_v=-g_m'R_D\)。

输出电阻

关于输出电阻，首先原始表达式显然为：

\[R_o=R_D||r_o' \]

因为输出电阻是从输出端往里看，所以\(R_D\)是不需要修正的，但是电流源内阻是需要修正的，修正为：

\[r_o'g_m'=r_og_m\implies r_o'=\frac{g_m}{g_m'}r_o=R_S+r_o+g_mr_oR_S \]

\[R_o=R_D||r_o'=\frac{R_D(R_S+r_o+g_mr_oR_S)}{R_D+R_S+r_o+g_mr_oR_S} \]

如果使用\(g_mr_o\gg1\)近似式，得到：

\[r_o'\approx r_o(1+g_mR_S) \]

\[R_o\approx\frac{R_D\enspace r_o(1+g_mR_S)}{R_D+r_o(1+g_mR_S)} \]

考虑漏源电阻并且考虑体效应

考虑体效应，也就是源极和基底不再连到一起，而是将基底作为参考电平（对于NMOS是地，对于PMOS是最高压电源），此时引入了一个源/基跨导\(g_{mb}\)。

跨导及放大系数

考虑了体效应之后，跨导先是被修正（注意是最初的跨导就被修正了，因为从物理结构上就多了一项）为了二者之和，即$$g_m\to g_m+g_{mb}$$
但是体效应所提供的跨导并不有效，其在输出时又被分流了，所以再修正为：

\[g_m'(g_m,g_{mb})\enspace(g_m+g_{mb})=g_m'(g_m\to g_m+g_{mb})\enspace g_m\implies g_m'(g_m,g_{mb})=\frac{g_m}{g_m+g_{mb}}g_m'(g_m\to g_m+g_{mb}) \]

代入得到：

\[g_m'=\frac{g_mr_o}{R_S+r_o+(g_m+g_{mb})R_Sr_o} \]

如果认为\((g_m+g_{mb})r_o\gg1\)，那么近似为：

\[g_m'\approx\frac{g_mr_o}{r_o[1+(g_m+g_{mb})R_S]} \]

放大系数仍为\(A_v=-g_m'R_D\)。

输出电阻

容易得出：

\[r_o'\approx r_o[1+(g_m+g_{mb})R_S] \]

\[R_o\approx\frac{R_D\enspace r_o[1+(g_m+g_{mb})R_S]}{R_D+r_o[1+(g_m+g_{mb})R_S]} \]

\[r_o'\approx r_o[1+(g_m+g_{mb})R_S] \]

\[R_o\approx\frac{R_D\enspace r_o[1+(g_m+g_{mb})R_S]}{R_D+r_o[1+(g_m+g_{mb})R_S]} \]

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