各种 Dice Loss 变体
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Dice Loss也是图像分割任务中非常常见的一个损失函数。本文基于 Generalised Wasserstein Dice Score for Imbalanced Multi-class Segmentation using Holistic Convolutional Networks 中的内容进行了整理。
hard dice score for binary segmentation
dice score 被广泛使用的针对二值分割图 S 和 G 之间成对比较的重叠度量方式。
其可以表示为集合操作或统计性度量的形式：
这里涉及到几项，具体含义如下：
：待评估图像和参考图像
：正阳性样本的数量，即
和
：
：
：
soft dice score for binary segmentation
对于软二值分割的扩展依赖于概率分类对的不一致概念。
对于 和
中的位置
对应的类别
和
可以被定义为标签空间
概率分割可以被表示为标签概率图，其中
由此可以将前面的关于数据的统计量
对于一般情形中的 ，即
，此时有：
对应的 soft dice score 可以表示为：
当然，也有引入平方形式的变体。
soft multi-class dice score
前面直接讨论的是二值分割的情形，而对于多分类情况则需要考虑不同类别计算的整合方式。
最简单的方式就是直接考虑所有类别的平均。
可以称为 mean dice score，这里对应包含
上式的推广形式可以通过引入类别权重参数
最终可以表示为：
soft multi-class wasserstein dice score
前面的 dice score 的形式中，对于 和
这里首先介绍 wasserstein distance。
wasserstein distance
这也被称为 earth mover’s distance。用于表示将一个概率向量 变换为另一个概率向量
对于所有的 ，从
移动到
的距离的集合定义为
和
之间的距离矩阵
，这一矩阵是固定的，可以认为是已知的。
这是一种将 上的距离矩阵
（通常亦可以称为 ground distance matrix）映射为
上的距离的方式，这里用了关于
在 为有限集合的情况下，对于
，二者关于
这里的 是
的联合概率分布，且有着边界分布
和
。
上式最小的 被称作对于距离矩阵
在
和之间
关于 wasserstein distance 的解释可以阅读：
- Wasserstein GAN and the Kantorovich-Rubinstein Duality
- https://chih-sheng-huang821.medium.com/%E9%82%84%E7%9C%8B%E4%B8%8D%E6%87%82wasserstein-distance%E5%97%8E-%E7%9C%8B%E7%9C%8B%E9%80%99%E7%AF%87-b3c33d4b942
soft multi-class wasserstein dice score
这里使用 wasserstein distance 来扩展标签概率向量对之间的差异性度量，从而得到如下扩展形式：
选择为使得背景类别
这里同样使用加权的方式对各个类别的统计结果进行了组合。
通过选择 来使得背景位置并不对
最终，关于
对于二值情况，可以设置：
由此有
此时 wasserstein dice score 就退化为了 soft binary dice score：
曾经的基于 wasserstein distance 的损失受限于其计算成本，然而，对于这里主要考虑的分割情形中，优化问题的闭式解存在。
对于 ，最优传输为
，并且因此 wasserstein distance 可以简化成：
wasserstein dice loss
基于
参考