• 1. 窗函数
  • 1.1 为什么加窗
  • 1.2 窗函数的定义

1. 窗函数

1.1 为什么加窗

在《什么是泄露？》中讲到 \(FFT\) 分析一次只能分析有限长度的时域信号。而实际采集的时域信号总时间很长，因此，需要将采样时间很长的时域信号截断成一帧一帧长度的数据块。这个截取过程叫做信号截断。

假设有一段 \(10s\) 的时域信号，取 \(1\) 帧的长度 \(T=1s\)，无重叠，则该信号将被截断为 \(10\) 帧，如下图所示。按此规律进行 \(FFT\) 计算，将得到 \(10\) 个瞬时频谱，如果将这些瞬时频谱进行平均，那么平均次数为 \(10\) 次，最终的 \(FFT\) 分析结果为这 \(10\) 个瞬时频谱的平均结果。

信号截断分为周期截断和非周期截断。周期截断是指截断后的信号为周期信号，而非周期截断是指截断后的信号不再是周期信号，哪怕原始信号本身是周期信号。

如果不是周期截断，截取后的信号将会存在泄漏，为了减少泄露误差，使用加权函数，也叫窗函数。

加窗主要是为了使时域信号似乎更好地满足 \(FFT\) 处理的周期性要求，减少泄漏。

如下图所示，若周期截断，则FFT频谱为单一谱线。若为非周期截断，则频谱出现拖尾，如图中部所示，可以看出泄漏很严重。为了减少泄漏，给信号施加一个窗函数（如图中上部红色曲线所示），原始截断后的信号与这个窗函数相乘之后得到的信号为上面右侧的信号。可以看出，此时，信号的起始时刻和结束时刻幅值都为 \(0\)，也就是说在这个时间长度内，信号为周期信号，但是只有一个周期。对这个信号做 \(FFT\) 分析，得到的频谱如下部右侧所示。相比较之前未加窗的频谱，可以看出，泄漏已明显改善，但并没有完全消除。因此，窗函数只能减少泄漏，不能消除泄漏。

1.2 窗函数的定义

何时何地应用何种窗函数？