题解 洛谷 P3793 由乃救爷爷

1. 题面描述

题目链接

给定长为 \(n\) 的序列，\(m\) 次询问，查询区间最大值。

\(n,m\le 10^7\)，数据随机。

2. 分析

经典的静态区间最小值问题，经典题目配经典算法，考虑到 ST 表和笛卡尔树。

而时间复杂度为 \(O(nlogn)\) 的 ST 表无法通过本题，于是考虑笛卡尔树。

首先构建一颗笛卡尔树。

根据笛卡尔树性质可知，对于区间 \([l,r]\)，最大值即为笛卡尔树上 \(lca(l,r)\) 的值。

说明：

根据二叉搜索树性质，可知 \(l\le lca(l,r)\le r\)，满足最大值在 \([l,r]\) 范围内。

根据大根堆性质，可知 \(lca(l,r)\) 为区间 \([l,r]\) 的最大值。

于是问题就转变为 \(n\) 个节点的树，\(m\) 次询问，查询 LCA。

这里可以选择 Tarjan 算法离线以 \(O(m)\) 的时间复杂度求解 LCA。

不过因为本体数据随机，笛卡尔树期望树高为 \(logn\) 数量级。同时询问随机，每次询问所查询的 LCA 不会过深，于是可以考虑从根开始暴力寻找 LCA。经测试，可以通过本题。

3. 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=20000005;

namespace GenHelper
{
    unsigned z1,z2,z3,z4,b;
    unsigned rand_()
    {
    b=((z1<<6)^z1)>>13;
    z1=((z1&4294967294U)<<18)^b;
    b=((z2<<2)^z2)>>27;
    z2=((z2&4294967288U)<<2)^b;
    b=((z3<<13)^z3)>>21;
    z3=((z3&4294967280U)<<7)^b;
    b=((z4<<3)^z4)>>12;
    z4=((z4&4294967168U)<<13)^b;
    return (z1^z2^z3^z4);
    }
}
void srand(unsigned x)
{using namespace GenHelper;
z1=x; z2=(~x)^0x233333333U; z3=x^0x1234598766U; z4=(~x)+51;}
int read()
{
    using namespace GenHelper;
    int a=rand_()&32767;
    int b=rand_()&32767;
    return a*32768+b;
}

int n,m,s,top;
int a[N],son[N][2],sta[N];

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin>>n>>m>>s;
	srand(s);
	for (int i=1; i<=n; i++) {
		a[i]=read();
		while (top && a[sta[top]]<a[i]) son[i][0]=sta[top--];
		if (top) son[sta[top]][1]=i;
		sta[++top]=i;
	}
	int rt=sta[1];
	unsigned long long ans=0;
	while (m--) {
		int l=read()%n+1,r=read()%n+1;
		if (l>r) swap(l,r);
		int p=rt;
		while (true) {
			if (l<=p && p<=r) {ans+=a[p]; break;}
			p=son[p][p<l];
		}
	}
	cout<<ans<<'\n';
	return 0;
}

本文完。