lintcode: Unique Paths

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked ‘Start’ in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The
robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked
‘Finish’ in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Note m and n will be at most 100.

1.方法1

采用组合数学的方法。
这个问题在组合数学中有计算公式：C（m+n-2,m-1）.因为从左上角到右下角一共会走m+n-2步，只要选中横向（或纵向）的m-1(或n-1)步，行进的路线就会固定。
现在就要求C（m+n-2,m-1）这个怎么编程求出。

组合数C（m,n）的求法：
即在m个物体中选择n个。

• 假设m个物体中的的物体a被选中，那么接下来有C（m-1,n-1）种方法；
• 假设物体a不会被选，那么接下来有C（m-1，n）中方法。
  所以C（m,n）=C（m-1,n-1）+C（m-1，n）；

先用递归发现超时。
用动态规划实现。

class Solution {
public:
    /**
     * @param n, m: positive integer (1 <= n ,m <= 100)
     * @return an integer
     */

    int uniquePaths(int m, int n) {
        // wirte your code here
        int cnt[m+n][m];
        for(int i=1;i<=m+n-2;i++){
            cnt[i][0]=1;
        }

        for(int i=1;i<=m+n-2;i++){
            for(int j=1;j<=m-1;j++){
                if(i==j){
                    cnt[i][j]=1;
                    continue;
                }else if(i<j){
                    cnt[i][j]=0;
                }else{
                    cnt[i][j]=cnt[i-1][j-1]+cnt[i-1][j];
                }

            }
        }

        return cnt[m+n-2][m-1];
    }
};

2.方法2

cnt[m][n] 表示到位置[m][n] 的路径数。
而到位置[m][n] 只能从[m-1][n] 和[m][n-1] 两个位置到达

所以cnt[m][n]=cnt[m-1][n] + cnt[m][n-1] ；

class Solution {
public:
    /**
     * @param n, m: positive integer (1 <= n ,m <= 100)
     * @return an integer
     */
    int uniquePaths(int m, int n) {
        if (m < 1 || n < 1) {
            return 0;
        }

        vector<vector<int> > ret(m, vector(n, 1));

        for (int i = 1; i != m; ++i) {
            for (int j = 1; j != n; ++j) {
                ret[i][j] = ret[i - 1][j] + ret[i][j - 1];
            }
        }

        return ret[m - 1][n - 1];
    }
};