题目链接

2199. 骑士共存问题

在一个 \(n*n\) 个方格的国际象棋棋盘上，马（骑士）可以攻击的棋盘方格如图所示。

棋盘上某些方格设置了障碍，骑士不得进入。

对于给定的 \(n*n\) 个方格的国际象棋棋盘和障碍标志，计算棋盘上最多可以放置多少个骑士，使得它们彼此互不攻击。

输入格式

第一行有 \(2\) 个正整数 \(n\) 和 \(m\)，分别表示棋盘的大小和障碍数。

接下来的 \(m\) 行给出障碍的位置。每行 \(2\) 个正整数，表示障碍的方格坐标。

输出格式

输出可以共存的最大骑士数量。

数据范围

\(1 \le n \le 200\),
\(0 \le m < n^2\)

输入样例：

3 2
1 1
3 3

输出样例：

5

解题思路

二分图最大独立集，最大权独立集，最小割，二分图

同 378. 骑士放置，但本题用匈牙利算法会超时，得转化为用最小割求解的最大权独立集求解，本题也类似于 2326. 王者之剑

另外，需要注意：dinic 算法求解二分图复杂度为 \(O(m\sqrt{n})\)

• 时间复杂度：\(O(n^3)\)

代码

// Problem: 骑士共存问题
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2200/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int N=205*205,M=N*8*2,inf=1e9;
int n,m,S,T;
bool g[205][205];
int dx[]={-1,-2,-2,-1,1,2,2,1},dy[]={-2,-1,1,2,-2,-1,1,2};
int h[N],f[M],ne[M],e[M],idx;
int d[N],hh,tt,q[N],cur[N];
void add(int a,int b,int c)
{
	e[idx]=b,f[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
	e[idx]=a,f[idx]=0,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
int get(int x,int y)
{
	return (x-1)*n+y;
}
bool bfs()
{
    memset(d,-1,sizeof d);
    d[S]=hh=tt=0;
    q[0]=S;
    cur[S]=h[S];
    while(hh<=tt)
    {
        int x=q[hh++];
        for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
        {
            int y=e[i];
            if(d[y]==-1&&f[i])
            {
                d[y]=d[x]+1;
                cur[y]=h[y];
                if(y==T)return true;
                q[++tt]=y;
            }
        }
    }
    return false;
}
int dfs(int x,int limit)
{
    if(x==T)return limit;
    int flow=0;
    for(int i=cur[x];~i&&flow<limit;i=ne[i])
    {
        cur[x]=i;
        int y=e[i];
        if(d[y]==d[x]+1&&f[i])
        {
            int t=dfs(y,min(f[i],limit-flow));
            if(!t)d[y]=-1;
            f[i]-=t,f[i^1]+=t,flow+=t;
        }
    }
    return flow;
}
int dinic()
{
    int res=0,flow;
    while(bfs())while(flow=dfs(S,inf))res+=flow;
    return res;
}
int main()
{
	memset(h,-1,sizeof h);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    S=0,T=n*n+1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
    	int x,y;
    	scanf("%d%d",&x,&y);
    	g[x][y]=true;
    }
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    	for(int j=1;j<=n;j++)
    	{
    		if(g[i][j])continue;
    		res++;
    		if((i+j)%2)
    		{
    			add(S,get(i,j),1);
    			for(int k=0;k<8;k++)
    			{
    				int x=i+dx[k],y=j+dy[k];
    				if(x<1||x>n||y<1||y>n||g[x][y])continue;
    				add(get(i,j),get(x,y),inf);
    			}
    		}
    		else
    			add(get(i,j),T,1);
    	}
    printf("%d",res-dinic());
    return 0;
}