R6PL - Harbinger vs Sciencepal

题面翻译

彩虹6是大学里非常流行的游戏。你的两个朋友小A和小B是优秀的玩家，他们想要参与竞争。 所以他们决定组建自己的团队。

有2 * N的球员有兴趣成为球队的一员，每个球员都有一定的评分。球员们成对地来到你身边，你必须在当时把他们中的一个放在小A的队伍中，另一个在小B的队伍中。你要组建两支球队，使球队之间球员总评分的差距就变得最小。

分析

首先设两组人分别为序列 \(a,b\)，容易想到，由于我们只是关心差值，不妨考虑设 \(c_i=|a_i-b_i|\)，设 \(S=\sum_{i=1}^nc_i\)，此时问题就变成了：从 \(c_i\) 中选出若干个，使得其值和最接近 \(\frac{S}{2}\)，(因为选择 \(c_i\) 就等同于选择第 \(i\) 组中较大的那个数），值域是 \(5\times 10^{5}\) 级别。这道题就变成了一个价值与重量相等，背包容量为 \(\frac{S}{2}\) 的0/1背包，只不过这个复杂度也是 \(O(NMT)\) 的，而 \(NM\) 上界都是 \(10^8\) ，直接T飞。考虑如何优化。

回想起0/1背包的DP方式，可以将其写作：

for(int i=1;i<=n;i++){  
    for(int j=S/2;j>=c[i];--j)f[j]|=f[j-c[i]];
}

由于我们求解的是可行性问题，观察这个式子，因为 \(f\) 的值只会是 \(1\) 或者 \(0\) 两种，这启发我们将 \(f\) 视为一个二进制数，那么每一次内层循环后的 \(f'\) 可以看作是： \(f'=f|(f<<c_i)\)
，试想我们如果可以高效的维护这个位运算，则可以做到优化DP的目的。这样的话，启发我们食用bitset对DP进行优化，最后求出来这个bitset的最高的为 \(1\) 的位记为第 \(A\)位，则最终答案就是 \(S-2A\)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<bitset> 
using namespace std;
#define N 250
#define M 500500
bitset<M>t;
int a[N],b[N],c[N],n,m,S;
inline int abs(int x){
	return x<0?-x:x;
}
void init(){
	S=0;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i]>>b[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)c[i]=abs(a[i]-b[i]),S+=c[i];
}
int solve(){
	t.reset();
	t[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)t|=(t<<c[i]);
	int ans=S/2;
	while(1){
		if(t[ans])return S-2*ans;
		ans--;
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>m;
	while(m--){
		init();
		printf("%d\n",solve());
	}
}