分组背包

1.定义

分组背包，通俗的讲就是，给你N组物品，然后每一组你至多选择一个物品(也可以不选),每个物品都有自己的体积和价值，现在给你一个容里为M的背包，让你用这个背包装物品，使得物品价值总和最大.

2.讲解

其实就类似于01背包，对于一个物品有两种决策选或不选，但是分组背包是在01背包的基础上对物品进行了分组，并且每一组只能最多选择一个物品，所以我们不妨用01背包的思想去思考分组背包.

分析：我们设f[i][j]为当前考虑到了第i组物品，剩余容里为j的背包能装物品的最大价值，那么很容易想到我们需要去枚举第i组物品，考虑选哪一个物品时最优的(或者不选)，状态转移方程就是i f ( j > = v [ i ] [ k ] ) f [ i ] [ j ] = m a x ( f [ i ] [ j ] , f [ i − 1 ] [ j − v [ i ] [ k ] ] + w [ i ] [ k ] ),v[i][k]和w[i][k]分别表示第i组物品中第k个物品的体积和价值

代码：

for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=0;j<=m;j++)
      for(int k=1;k<=s[i];k++)//s[i]表示第i组物品的个数
       if(j>=v[i][k])//剩余的背包容量j大于第i组的第k个物品的体积 
       {
             f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k]);
       }

这里我们还可以对空间进行优化，我们可以观察到，f[i][…]只会用到f[i-1][…]的值，所以数组的第一维的空间完全可以用滚动数组的方式处理掉，但是如何不影响状态转移呢，我们来看滚掉之后的状态转移方程，

f[j] = max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);

这里的max里面的f [ j ] 和 f [ j − v [ i ] [ k ] ] 其实是f [ i − 1 ] [ j ] 和 f [ i − 1 ] [ j − v [ i ] [ k ] ],而不是f [ i ] [ j ] 和 f [ i ] [ j − v [ i ] [ k ] ]，所以我们需要对体积的遍历做一些修改，从大到小循环，如果还是从小到大循环的话，那么这里的f [ j ] 和 f [ j − v [ i ] [ k ] ] 的含义就有可能是f [ i ] [ j ] 和 f [ i ] [ j − v [ i ] [ k ] ]，而不是我们需要的f [ i − 1 ] [ j ] 和 f [ i − 1 ] [ j − v [ i ] [ k ] ]，可以模拟一下就明白了，只靠想的话有点抽象.

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