线性回归时若数据不服从正态分布，会给线性回归的最小二乘估计系数的结果带来误差，所以需要对数据进行结构化转换。
在讨论回归模型中的变换时，我们通常会简单地使用Box-Cox变换，或局部回归和非参数估计。
这里的要点是，在标准线性回归模型中，我们有
但是有时候，线性关系是不合适的。一种想法可以是转换我们要建模的变量，然后考虑
这就是我们通常使用Box-Cox变换进行的操作。另一个想法可以是转换解释变量，
例如，我们有时会考虑连续的分段线性函数，也可以考虑多项式回归。
“凸规则”变换
“凸规则”(Mosteller. F and Tukey, J.W. (1978). Data Analysis and Regression)的想法是，转换时考虑不同的幂函数。
1.“凸规则”为纠正非线性的可能变换提供了一个起点。
2 .通常情况下，我们应该尝试对解释变量进行变换，而不是对因变量Y进行变换，因为Y的变换会影响Y与所有X的关系，而不仅仅是与非线性关系的关系
3.然而，如果因变量是高度倾斜的，那么将其转换为以下变量是有意义的
更具体地说，我们将考虑线性模型。
根据回归函数的形状（上图中的四个曲线，在四个象限中），将考虑不同的幂。
例如让我们生成不同的模型，看看关联散点图。
- > plot(MT(p=.5,q=2),main="(p=1/2,q=2)")
- > plot(MT(p=3,q=-5),main="(p=3,q=-5)")
- > plot(MT(p=.5,q=-1),main="(p=1/2,q=-1)")
- > plot(MT(p=3,q=5),main="(p=3,q=5)")
如果我们考虑图的左下角部分，要得到这样的模式，我们可以考虑
或更一般地
其中
和都大于1.并且
越大，回归曲线越凸。
让我们可视化数据集上的双重转换，例如cars数据集。
- > tukey=function(p=1,q=1){
- + regpq=lm(I(y^q)~I(x^p) )
- + u=seq(min(min( x)-2,.1),max( x)+2,length=501)
- + polygon(c(u,rev(u)),c(vic[,2],rev(vic[,3]))^(1/q)
- + lines(u,vic[,2]^(1/q)
- + plot(x^p, y^q )
- + polygon(c(u,rev(u))^p,c(vic[,2],rev(vic[,3])) )
- + lines(u^p,vic[,2])
例如，如果我们运行
- > tukey(2,1)
我们得到如下图，
左侧是原始数据集，右侧是经过转换的数据集，
其中有两种可能的转换。在这里，我们只考虑了汽车速度的平方（这里只变换了一个分量）。在该转换后的数据集上，我们运行标准线性回归。我们在这里添加一个置信度。然后，我们考虑预测的逆变换。这条线画在左边。问题在于它不应该被认为是我们的最佳预测，因为它显然存在偏差。请注意，在这里，有可能考虑另一种形状相同但完全不同的变换
- > tukey(1,.5)
Box-Cox变换
当然，也可以使用Box-Cox变换。此外，还可以寻求最佳变换。考虑
- > for(p in seq(.2,3,by=.1)) bc=cbind(bc,boxcox(y~I(x^p),lambda=seq(.1,3,by=.1))$y)
- > contour(vp,vq,bc)
颜色越深越好（这里考虑的是对数似然）。 最佳对数在这里是
- > bc=function(a){p=a[1];q=a[2]; (-boxcox(y~I(x^p),data=base,lambda=q)$y[50]
- > optim(bc,method="L-BFGS-B")
实际上，我们得到的模型还不错，
