梯度下降是什么？
最近我们被客户要求撰写关于梯度下降的研究报告，包括一些图形和统计输出。梯度下降是一种优化算法，能够为各种问题找到最佳解决方案。
梯度下降的主要功能是最小化成本函数。
这个定义很难理解，对吧？！好的，让我们让它变得简单，并通过一个例子来理解它。
假设我们有2个变量的数据，并且 ，其中x是自变量，y是因变量。因此，我们的目标是预测给定的y。假设数据如下所示。在这里，我们正在考虑线性回归问题。所以我们得到这条线，这样我们就可以预测任何.x``y
众所周知，直线的等式，如下所示。y = mx + c
这里的 θ₀ 和 θ₁ 称为权重。我们必须找到这些权重才能获得数据的最佳拟合线。
但问题是，如何获得这条线以使其适合数据？为此，首先我们必须找到误差，即实际输出和预测输出之间的差异，这是由我们的假设函数用一些随机权重计算的。
为此，我们需要一个成本函数来计算这个误差。对于线性回归，成本函数定义如下：
你会发现，首先成本函数取实际值和预测值的差值，然后取它的平方，然后取所有数据的平均值。所以基本上它是在计算线在数据上的拟合程度。如果成本函数的值接近0，那么很好，但如果是一个很大的值，那么必须改变假设函数的权重。 那么是否必须随机尝试不同的权重才能获得最佳拟合线？不用，这时就可以用梯度下降方法。 这里，成本函数是 θ₀ 和 θ₁ 的函数。 例如，我们有x和它的函数f(x)。现在我们想要具有最小值的值。 众所周知，在某个点取函数的微分，意味着该点的斜率。因此，我们可以说，在这一点上，这种分化变为 0 意味着在该点上，斜率的值为 0，意味着我们得到一条水平的斜线。
请看下图：
在这里你可以看到，在x'值时，斜率变成了水平的。这意味着此时的值是最小的。您可以在图像中清楚地看到这一点。此时，f(x)的微分为0。所以在这里，我们正在做的是找到图形的最小值。
现在让我们回到梯度下降。
我们有 θ₀ 和 θ₁ 作为参数和成本函数，它是 θ₀ 和 θ₁ 的函数。因此，这里我们希望最小化成本函数，以便我们可以为我们的模型获得最佳拟合线。如上例所述，我们必须找到成本函数的微分，此时它变为 0，将得到最佳拟合线的 θ₀ 和 θ₁ 值。所以我们想找到最小值。
所以我们有 2 个参数和一个成本函数。如果我们将其绘制在图形中，它将是 3D，如下所示。看到图像，你会得到更好的理解。
这里我们在图中有 θ₀、θ₁ 和 J（θ₀， θ₁）。现在取一个随机值 θ₀， θ₁ 并为此计算成本函数。在图形中设置此值，假设该点显示在图形中。我们希望该点最小点。您可以看到，在点斜率变为 0，对于该 θ₀，θ₁ 成本函数具有最低值意味着我们有数据的最佳拟合线。A``A'``A'
现在的问题是，在这一点上如何到达？
程序是首先计算一个点的斜坡。之后，朝那个方向走下。并重复此步骤，直到我们得到 slop 0 的值。
例如，假设你在浓雾中迷失在山上，你只能感觉到脚下地面的坡度。快速到达底部的一个好策略是朝最陡峭的斜坡方向下坡。
让我们看看梯度下降的方程，然后你很容易理解。
学习率（也称为步长或alpha）是为达到最小值而采取的步骤的大小。这通常是一个较小的值，它根据成本函数的行为进行评估和更新。
所以现在，如果你看到这个等式，就可以理解它是如何工作的。对于任何θ，它将首先计算斜率，然后将这个斜率乘以学习率，使其变为比较小的值，然后从原始θ中减去该值并将θ替换为我们得到的值。这个过程会重复，直到找到任何最小值或收敛。基本上，它将θ移动到局部或全局最小值。
如果α很小，那么算法将经历多次迭代并花费大量时间。
如果α很高，您可能会跳过山谷，这可能会使算法发散并且无法找到最佳解决方案。
梯度下降的类型
有 3 种类型：
- 批次梯度下降
它计算训练集中每个示例的误差。评估完所有参数后，它会更新模型参数。
它的计算效率很高，会产生稳定的误差梯度和收敛性，但它需要在内存中有一个完整的训练集。 - 随机梯度下降
它根据单个训练样本的误差梯度更新参数。
它比批量梯度下降更快。频繁更新可提供详细的改进速度，但这些更新的成本更高。 - 小批量梯度下降
它将训练集分成小批次，并为每个批次执行更新。
它平衡了批处理和随机梯度下降，因为它使用两者的组合。
梯度下降的挑战
- 局部最小值和高原
并非所有成本函数看起来都不像一个普通的碗。第一个情况，它可能卡在局部最小值。第二个情况，需要很长时间才能达到全局最小值。
- 爆炸梯度
当梯度太大时会发生这种情况，从而创建不稳定的模型。在这种情况下，模型权重将变得太大，最终将表示为 NaN。此问题的一个解决方案是利用降维技术，这有助于最大程度地降低模型中的复杂性。
R语言用极大似然和梯度下降算法估计GARCH(p)过程
本文考虑一些ARCH(p)过程，例如ARCH(1)。
其中
有一个高斯白噪声
.
> for(t in 3:n){
+ sigma2[t]=w+a1*epsilon[t-1]^2+a2*epsilon[t-2]^2
+ epsilon[t]=eta[t]*sqrt(sigma2[t])
+ }
(红线是条件方差过程）。
> acf(epsilon,lag=50,lwd=2)
如果
是一个ARCH()，那么
就是一个AR(1)过程。所以第一个想法是考虑回归，就像我们对AR(1)所做的那样
> summary(lm(Y~X1,data=db))
这里有一些明显的自相关。但由于我们的向量不能被认为是高斯分布的，使用最小二乘法也许不是最好的策略。实际上，如果我们的序列不是高斯分布的，它仍然是有条件的高斯分布的，因为我们假设
是高斯（强）白噪声。
然后，似然函数是
而对数似然函数为
而一个自然的想法是定义
代码简单地说就是
> OPT=optim(par=
+ coefficients(lm(Y~X1,data=db)),fn=loglik)
由于参数必须是正数，我们在此假定它们可以写成一些实数的指数。观察一下，这些值更接近于用来生成我们的时间序列的值。
如果我们使用R函数来估计这些参数，我们会得到
> summary(garch(epsilon,c(0,1)))
...
所以
的置信区间是
coef[2,1]+
+ c(-1.96,1.96)*coef[2,2]
实际上，由于我们的主要兴趣是这个
参数，所以有可能使用轮廓似然方法。
> OPT=optimize(function(x) -proflik(x), interval=c(0,2))
objective-qchisq(.95,df=1)
> abline(h=t,col="red")
当然，所有这些技术都可以扩展到高阶ARCH过程。例如，如果我们假设有一个ARCH(2)时间序列
其中
有一个高斯（强）白噪声
.对数似然性仍然是
而我们可以定义
上面的代码可以被修改，以考虑到这个额外的部分。
optim(par=
+ coefficients(lm(Y~X1+X2,data=db)),fn=loglik)
我们也可以考虑一些广义的ARCH过程，例如GARCH(1,1)。
其中
同样，可以使用最大似然技术。实际上，我们也可以用Fisher-Scoring算法编码，因为（在一个非常普遍的情况下
这里
. 使用标准的梯度下降算法，我们可以得到以下对GARCH过程的估计。
> while(sum(G^2)>1e-12){
+ s2=rep(theta[1],n)
+ for (i in 2:n){s2[i]=theta[1]+theta[2]*X[(i-1)]^2+theta[3]*s2[(i-1)]}
这里有趣的一点是，我们也得出了（渐进的）方差
>sqrt(diag(solve(H))
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