数据库入门之关系代数

关系代数是一种抽象的查询语言，用对关系的运算来表达查询，作为研究关系数据语言的数学工具。关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。关系代数用到的运算符包括四类：集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符比较运算符和逻辑运算符是用来辅助专门的关系运算符进行操作的，所以按照运算符的不同，主要将关系代数分为传统的集合运算和专门的关系运算两类。

传统的集合运算

传统的集合运算是二目运算，包括并、交、差、广义笛卡尔积四种运算。

⒈并（Union）

设关系R和关系S具有相同的目n（即两个关系都有n个属性），且相应的属性取自同一个域，则关系R与关系S的并由属于R且属于S的元组组成。其结果关系仍为n目关系。记作：
R∪S={t|t∈R∨t∈S}

2. 差（Difference）

设关系R和关系S具有相同的目n，且相应的属性取自同一个域，则关系R与关系S的差由属于R而不属于S的所有元组组成。其结果关系仍为n目关系。记作：
R－S={t|t∈R∧t∉S}

3. 交（Intersection Referential integrity）

设关系R和关系S具有相同的目n，且相应的属性取自同一个域，则关系R与关系S的交由既属于R又属于S的元组组成。其结果关系仍为n目关系。记作：
R∩S={t|t∈R∧t∈S}

4. 广义笛卡尔积（Extended cartesian product）

这里的笛卡尔积严格地讲是广义笛卡尔积(Extended Cartesian Product)。在不会出现混淆的情况下广义笛卡尔积也称为笛卡尔积。
两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个(n+m)列的元组的集合。元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。若R有k1个元组，S有k2个元组，则关系R和关系S的广义笛卡尔积有k1×k2个元组。
记作：
R×S={(t_r t_s ) ?|t_r∈R?t_s∈S}

专门的关系运算

专门的关系运算(Specific relation operations)包括选择、投影、连接、除等。
举个例子，建立一个学生选课系统，建立三张表:
学生表(studnet)：学号(sno)、姓名(sname)，性别(ssex)，年龄(sage)、系别(sdept)
课程表(course)：课程号(cno)、课程名(cname)、先行课程号(cpno)
成绩表(score)：学号(sno)、课程号(cno)、成绩(grade)

1. 选择（Selection）

选择又称为限制（Restriction）。它是在关系R中选择满足给定条件的诸元组，记作：
σF(R) = {t|t∈R ∧ F(t)='真'}
[例1] 查询信息系（IS系）全体学生
σ_sdept='IS'(student)
[例2] 查询年龄小于20岁的学生
σ_sage<20(student)
[例3] 查询信息系年龄小于20岁的学生
σ_{sdept='IS' ∧sage<20}(student)
★∧ 逻辑与
★∨ 逻辑或

注：选择运算是从行的角度进行的运算

2. 投影（Projection）

关系R上的投影是从R中选择出若干属性列组成新的关系。记作：
πA(R) = { t[A] | t∈R }
其中A为R中的属性列。
[例1] 查询学生的姓名和所在系
π_sname,sdept(student)
[例2]查询学生关系Student中都有哪些系
π_sdept(student)
[例3] 查询CS系的学生姓名
π_sname( σ_sdept='CS'(student) )
[例4] 查询没有选过课的学号
思路：所有学生号-选过课的学生号
π_sno(student)-π_sno(score)
[例5]查询没有不及格的学号
思路：所有学号-有不及格的学号
π_sno(student)-π_sno( σ_grade<60(student) )
[例6]查未被选修的课号
所有课号 - 被选修的课号
π_cno(course)-π_cno(score)
连接包括θ连接，自然连接，外连接，半连接。它是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组。

注：投影操作主要是从列的角度进行运算。

3. 连接（Join）

连接包括θ连接，自然连接，外连接，半连接。它是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组。
连接运算从R和S的笛卡尔积R×S中选取（R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组上值满足比较关系θ的元组。
连接运算中有两种最为重要也最为常用的连接，一种是等值连接（equi-join），另一种是自然连接（Natural join）。
θ为“=”的连接运算称为等值连接。它是从关系R与S的笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组。
自然连接（Natural join）是一种特殊的等值连接，它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且要在结果中把重复的属性去掉。
一般的连接操作是从行的角度进行运算。但自然连接还需要取消了重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。

[例 1]查询有成绩>95的学号，姓名
分析：成绩在SC表中， 姓名在STUDENT表中，如果有一张大表，有学号、姓名、成绩 就好了，自然连接STUDENT和SC即可。
π_sno,sname( σ_grade>95(student)⋈score)
[例 2] 查询选修了2号课程的学生的学生名。
π_sname( σ_cno='2' (student⋈score) )
[例3] 查询选修了先行课为5号课的课程的学生姓名。
π_sname ( π_sno,sname (student)⋈score⋈ σ_cpno='5' (course) )
简单写就是：
π_sname( σ_cpno='5' (student⋈score⋈course) )
[例4] 查询没有选过课的学号，姓名
π_sno,sname (student⋈(π_sno(student)-π_sno(score) )

4. 除（Division）

除法运算是一个复合的二目运算。如果把笛卡尔积看作“乘法”运算，则除法运算可以看作这个“乘法”的逆运算。
给定关系R(X，Y)和S(Y，Z)，其中X、Y、Z为属性组。R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。R与S的除运算得到一个新的关系P(X)，P是R中满足下列条件的元组在X属性列上的投影：元组在X上的分量值x的像集YX包含S在Y上投影的集合。记作：
R÷S={t_r [X]|t_r∈R?π_r （S）?Y_x}
其中，Y_x为x在R中的像集，x=t_r [X]。显然，除操作是同时从行和列的角度进行运算。
根据关系运算的除法定义，可以得出它的运算步骤:
① 将被除关系的属性分为像集属性和结果属性两部分；与除关系相同的属性属于像集属性；不相同的属性属于结果属性。
② 在除关系中，对像集属性投影，得到除目标数据集。
③ 将被除关系分组。分组原则是：结果属性值一样的元组分为一组。
④ 逐一考察每个组，如果它的像集属性值中包括目标数据集，则对应的结果属性应属于该除法运算结果集。
[例1]  查询至少选修1号课程和3号课程的学生号码
π_sno,cno(score)÷π_cno( σ_{cno=1∨cno=3} (score) )
[例2] 查询选修了全部课程的学生号码。
π_sno,cno(score)÷π_cno(course)
扩展：查询选修了全部课程的学生号码和姓名。
π_sno,sname( (π_sno,cno(score)÷π_cno(course) )⋈student )
[例3]查询选修了002同学所选的全部课程的学生号码
π_sno,cno(score)÷π_cno( σ_sno='002'(score) )