计算机编程：二进制、八进制、十进制、十六进制转换

1、二进制

我们不妨将思维拓展一下，既然可以用 0~9 共十个数字来表示数值，那么也可以用 0、1 两个数字来表示数值，这 就是二进制（Binary）。例如，数字 0、1、10、111、100、1000001 都是有效的二进制。 在计算机内部，数据都是以二进制的形式存储的，二进制是学习编程必须掌握的基础。本节我们先讲解二进制的概 念，下节讲解数据在内存中的存储，让大家学以致用。 二进制加减法和十进制加减法的思想是类似的： 对于十进制，进行加法运算时逢十进一，进行减法运算时借一当十； 对于二进制，进行加法运算时逢二进一，进行减法运算时借一当二。 下面两张示意图详细演示了二进制加减法的运算过程。

1）二进制加法：1+0=1、1+1=10、11+10=101、111+111=1110

1. 二进制减法：1-0=1、10-1=1、101-11=10、1100-111=101

2、八进制

除了二进制，C 语言还会使用到八进制。 八进制有 0~7 共 8 个数字，基数为 8，加法运算时逢八进一，减法运算时借一当八。例如，数字 0、1、5、7、14、 733、67001、25430 都是有效的八进制。 下面两张图详细演示了八进制加减法的运算过程。

1. 八进制加法：3+4=7、5+6=13、75+42=137、2427+567=3216

1. 八进制减法：6-4=2、52-27=23、307-141=146、7430-1451=5757

3、十六进制

除了二进制和八进制，十六进制也经常使用，甚至比八进制还要频繁。 十六进制中，用 A 来表示 10，B 表示 11，C 表示 12，D 表示 13，E 表示 14，F 表示 15，因此有 0~F 共 16 个数字，基数为 16，加法运算时逢 16 进 1，减法运算时借 1 当 16。例如，数字 0、1、6、9、A、D、F、419EA32、 80A3、BC00 都是有效的十六进制。 注意，十六进制中的字母不区分大小写，ABCDEF 也可以写作 abcdef。 下面两张图详细演示了十六进制加减法的运算过程。

1. 十六进制加法：6+7=D、18+BA=D2、595+792=D272F87+F8A=3F11

1. 十六进制减法：D-3=A、52-2F=23、E07-141=CC6、7CA0-1CB1=5FEF

4、不同进制之间的转换

将二进制、八进制、十六进制转换为十进制 二进制、八进制和十六进制向十进制转换都非常容易，就是“按权相加”。所谓“权”，也即“位权”。 假设当前数字是 N 进制，那么：

 对于整数部分，从右往左看，第 i 位的位权等于 Ni-1

 对于小数部分，恰好相反，要从左往右看，第 j 位的位权为 N-j。

更加通俗的理解是，假设一个多位数（由多个数字组成的数）某位上的数字是 1，那么它所表示的数值大小就是该位的位权。

1) 整数部分

例如，将八进制数字 53627 转换成十进制：

从右往左看，第 1 位的位权为 80=1，第 2 位的位权为 81=8，第 3 位的位权为 82=64，第 4 位的位权为 83=512，第 5 位的位权为 84=4096 …… 第 n 位的位权就为 8n-1。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。

注意，这里我们需要以十进制形式来表示位权。

再如，将十六进制数字 9FA8C 转换成十进制：9FA8C = 9×164 + 15×163 +10×162 + 8×161 + 12×160 = 653964（十进制）从右往左看，第 1 位的位权为 160=1，第 2 位的位权为 161=16，第 3 位的位权为 162=256，第 4 位的位权为163=4096，第 5 位的位权为 164=65536 …… 第 n 位的位权就为 16n-1。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。将二进制数字转换成十进制也是类似的道理：

从右往左看，第 1 位的位权为 20=1，第 2 位的位权为 21=2，第 3 位的位权为 22=4，第 4 位的位权为 23=8，第 5位的位权为 24=16 …… 第 n 位的位权就为 2n-1。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。

2) 小数部分

例如，将八进制数字 423.5176 转换成十进制：

小数部分和整数部分相反，要从左往右看，第 1 位的位权为 8-1=1/8，第 2 位的位权为 8-2=1/64，第 3 位的位权为8-3=1/512，第 4 位的位权为 8-4=1/4096 …… 第 m 位的位权就为 8-m。再如，将二进制数字 1010.1101 转换成十进制： 小数部分和整数部分相反，要从左往右看，第 1 位的位权为 2-1=1/2，第 2 位的位权为 2-2=1/4，第 3 位的位权为2-3=1/8，第 4 位的位权为 2-4=1/16 …… 第 m 位的位权就为 2-m。 更多转换成十进制的例子：

将十进制转换为二进制、八进制、十六进制

将十进制转换为其它进制时比较复杂，整数部分和小数部分的算法不一样，下面我们分别讲解。

1) 整数部分

十进制整数转换为 N 进制整数采用“除 N 取余，逆序排列”法。具体做法是：

 将 N 作为除数，用十进制整数除以 N，可以得到一个商和余数；

 保留余数，用商继续除以 N，又得到一个新的商和余数；

 仍然保留余数，用商继续除以 N，还会得到一个新的商和余数；

 ……

 如此反复进行，每次都保留余数，用商接着除以 N，直到商为 0 时为止。

把先得到的余数作为 N 进制数的低位数字，后得到的余数作为 N 进制数的高位数字，依次排列起来，就得到了

N 进制数字。

下图演示了将十进制数字 36926 转换成八进制的过程：

2) 小数部分

十进制小数转换成 N 进制小数采用“乘 N 取整，顺序排列”法。具体做法是：

 用 N 乘以十进制小数，可以得到一个积，这个积包含了整数部分和小数部分；

 将积的整数部分取出，再用 N 乘以余下的小数部分，又得到一个新的积；

 再将积的整数部分取出，继续用 N 乘以余下的小数部分；

 ……

 如此反复进行，每次都取出整数部分，用 N 接着乘以小数部分，直到积中的小数部分为 0，或者达到所要求

的精度为止。

把取出的整数部分按顺序排列起来，先取出的整数作为 N 进制小数的高位数字，后取出的整数作为低位数字，这 样就得到了 N 进制小数。 下图演示了将十进制小数 0.930908203125 转换成八进制小数的过程：

下图演示了将十进制小数 0.6875 转换成二进制小数的过程：