文章目录
1. 二叉搜索树的概念
⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值
- 它的左右子树也分别为⼆叉搜索树
- ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不支持插⼊相等的值，具体看使用场景定义。
2. 二叉搜索树的性能分析
最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为：O(log2N)
最差情况下，⼆叉搜索树退化为单支树(或者类似单⽀)，其⾼度为：O(N /2)
所以综合而言⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)
那么这样的效率显然是无法满⾜我们需求的，在后续当中还有平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适用于我们在内存中存储和搜索数据。
另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现O(logN) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：
- 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。
- 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据⼀般需要挪动数据。这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。
3. 二叉搜索树的插入
插⼊的具体过程如下：
- 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针
- 树不空，按⼆叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右⾛，插入值比当前结点小往左⾛，找到空位置，插入新结点。
- 如果支持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插入相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）
bool Insert(const K& key)
{
// 如果树是空的，直接插入节点作为根节点
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key); // 创建一个新节点并将其作为根节点
return true; // 插入成功，返回 true
}
Node* parent = nullptr; // 用于跟踪当前节点的父节点
Node* cur = _root; // 从根节点开始查找合适的位置
// 查找合适的插入位置
while (cur)
{
if (cur->_key > key) // 如果当前节点的键值大于插入的键值，往左子树走
{
parent = cur; // 记录当前节点为父节点
cur = cur->_left; // 向左子节点继续查找
}
else if (cur->_key < key) // 如果当前节点的键值小于插入的键值，往右子树走
{
parent = cur; // 记录当前节点为父节点
cur = cur->_right; // 向右子节点继续查找
}
else // 如果找到一个与插入值相同的节点，插入失败（不允许重复键）
{
return false; // 插入失败，因为树中已有相同的键值
}
}
// 将新的节点插入到找到的空位置
cur = new Node(key); // 创建一个新节点
// 判断新节点应该插入到父节点的左侧还是右侧
if (parent->_key < key) // 如果父节点的键值小于插入的键值
{
parent->_right = cur; // 将新节点作为父节点的右子节点
}
else // 如果父节点的键值大于插入的键值
{
parent->_left = cur; // 将新节点作为父节点的左子节点
}
return true; // 插入成功，返回 true
}
4. 二叉搜索树的查找
- 从根开始比较，查找x，x比根的值大则往右边⾛查找，x比根值小则往左边⾛查找。
- 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。
- 如果不支持插入相等的值，找到x即可返回
- 如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要找到1的右孩⼦的那个3返回
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if(cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}
5. 二叉搜索树的删除
首先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）
- 要删除结点N左右孩⼦均为空
- 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空
- 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空
- 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空
对应以上四种情况的解决⽅案：
- 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）
- 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点
- 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点
- ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦无处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。
4种情况
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
// 1. 找到要删除的节点
while (cur)
{
if (cur->_key < key) // 向右查找
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key) // 向左查找
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// 2. 找到节点，开始删除
// 2.1 当前节点只有右子节点或没有子节点
if (cur->_left == nullptr)
{
Node* temp = cur->_right;
if (cur == _root) // 如果删除的是根节点
{
_root = temp;
}
else
{
if (cur == parent->_right)
{
parent->_right = temp;
}
else
{
parent->_left = temp;
}
}
delete cur;
return true;
}
// 2.2 当前节点只有左子节点
else if (cur->_right == nullptr)
{
Node* temp = cur->_left;
if (cur == _root) // 如果删除的是根节点
{
_root = temp;
}
else
{
if (cur == parent->_right)
{
parent->_right = temp;
}
else
{
parent->_left = temp;
}
}
delete cur;
return true;
}
// 2.3 当前节点有两个子节点
else
{
// 找到右子树的最小节点，用它来替换当前节点
Node* minRightParent = cur;
Node* minRight = cur->_right;
while (minRight->_left)
{
minRightParent = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
// 用右子树最小节点替换当前节点
cur->_key = minRight->_key;
// 删除替换节点
if (minRightParent->_left == minRight)
{
minRightParent->_left = minRight->_right;
}
else
{
minRightParent->_right = minRight->_right;
}
delete minRight;
return true;
}
}
}
return false; // 未找到需要删除的节点
}
6. ⼆叉搜索树的实现代码
#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;
namespace ZWW
{
template<class K>
struct BSTNode
{
K _key;
BSTNode<K>* _left;
BSTNode<K>* _right;
BSTNode(const K& key)
:_key(key)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
{}
};
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTNode<K> Node;
public:
bool Insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
//查找合适的插入位置
while (cur)
{
if (cur->_key > key)//往左走
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_key < key)//往右走
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else//不考虑节点相等的情况
{
return false;
}
}
//将该数据插入到所查找的位置
cur = new Node(key);
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
bool Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if(cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return true;
}
}
return false;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
// 1. 找到要删除的节点
while (cur)
{
if (cur->_key < key) // 向右查找
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key) // 向左查找
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// 2. 找到节点，开始删除
// 2.1 当前节点只有右子节点或没有子节点
if (cur->_left == nullptr)
{
Node* temp = cur->_right;
if (cur == _root) // 如果删除的是根节点
{
_root = temp;
}
else
{
if (cur == parent->_right)
{
parent->_right = temp;
}
else
{
parent->_left = temp;
}
}
delete cur;
return true;
}
// 2.2 当前节点只有左子节点
else if (cur->_right == nullptr)
{
Node* temp = cur->_left;
if (cur == _root) // 如果删除的是根节点
{
_root = temp;
}
else
{
if (cur == parent->_right)
{
parent->_right = temp;
}
else
{
parent->_left = temp;
}
}
delete cur;
return true;
}
// 2.3 当前节点有两个子节点
else
{
// 找到右子树的最小节点，用它来替换当前节点
Node* minRightParent = cur;
Node* minRight = cur->_right;
while (minRight->_left)
{
minRightParent = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
// 用右子树最小节点替换当前节点
cur->_key = minRight->_key;
// 删除替换节点
if (minRightParent->_left == minRight)
{
minRightParent->_left = minRight->_right;
}
else
{
minRightParent->_right = minRight->_right;
}
delete minRight;
return true;
}
}
}
return false; // 未找到需要删除的节点
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
Node* _root = nullptr;
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
};
}
7. ⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景
7.1 key搜索场景：
只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不支持修改，修改key破坏搜索树结构了。
场景1
小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号录入后台系统，车辆进⼊时扫描车牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。
场景2
检查⼀篇英文文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树，读取文章中的单词，查找是否在二叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。
7.2 key/value搜索场景：
每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修改key破坏搜索树结构了，可以修改value。
场景1
简单中英互译字典：
在树结构中，每个结点存储key（英文）和value（中文）。搜索时输入英文，自动查找对应的中文。
场景2
商场无人值守车库：
在入口进场时扫描车牌，记录车牌和入场时间；在出口离场时再次扫描车牌，查找入场时间。通过当前时间减去入场时间计算停车时长，并计算出停车费用。缴费后抬杆，车辆离场。
场景3
统计文章中的单词出现次数：
读取一个单词，查找是否存在该单词。如果不存在，说明是首次出现，记录为（单词，1）；如果存在，则将该单词的出现次数加一。
7.3 key/value⼆叉搜索树代码实现
namespace key_value
{
template<class K, class V>
struct BSTNode
{
// 存储键值对，并包含指向左、右子节点的指针
K _key;
V _value;
BSTNode<K, V>* _left;
BSTNode<K, V>* _right;
// 构造函数，用于初始化节点的键、值，并将左右子节点指针设为空
BSTNode(const K& key, const V& value)
: _key(key)
, _value(value)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
{}
};
template<class K, class V>
class BSTree
{
typedef BSTNode<K, V> Node;
public:
// 插入新节点
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
// 如果根节点为空，直接将新节点设为根
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key, value);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
// 遍历树，找到插入位置
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false; // key已存在，插入失败
}
}
// 创建新节点
cur = new Node(key, value);
// 根据key值大小，挂在父节点的左或右
if (parent->_key < key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return true;
}
// 查找节点
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
// 遍历树以找到目标key
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur; // 找到节点
}
}
return nullptr; // 未找到节点
}
// 删除节点
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
// 查找待删除节点
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// 找到待删除节点
if (cur->_left == nullptr)
{
// 情况1：无左子节点
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
// 父节点指向当前节点的右子节点
if (cur == parent->_right)
{
parent->_right = cur->_right;
}
else
{
parent->_left = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
// 情况2：无右子节点
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
// 父节点指向当前节点的左子节点
if (cur == parent->_right)
{
parent->_right = cur->_left;
}
else
{
parent->_left = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else
{
// 情况3：有左右子节点
// 找到右子树中最小节点（最左），以替代当前节点
Node* minRightParent = cur;
Node* minRight = cur->_right;
while (minRight->_left)
{
minRightParent = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
// 替换键值
cur->_key = minRight->_key;
cur->_value = minRight->_value;
// 删除最小节点
if (minRightParent->_left == minRight)
{
minRightParent->_left = minRight->_right;
}
else
{
minRightParent->_right = minRight->_right;
}
delete minRight;
}
return true;
}
}
return false; // 未找到节点，删除失败
}
// 中序遍历树
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
// 递归中序遍历
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " " << root->_value << endl;
_InOrder(root->_right);
}
// 根节点指针
Node* _root = nullptr;
};
}