GBDT算法

标签：梯度 残差 学习 算法 GBDT 拟合 test 数据

GBDT

1. 残差提升树（BDT）

梯度提升树（Grandient Boosting）是提升树（Boosting Tree）的一种改进算法，所以在讲梯度提升树之前先来说一下残差提升树。
残差提升树：

• 通过拟合残差的方式进行提升
• 残差 = 真实值 - 预测值
• 残差可以是正的，也可以是负的，不能加绝对值（与绝对误差相区分）

先来个通俗理解：

• 预测某人的年龄为100岁
• 第1次预测：对100岁预测，预测成80岁；100 – 80 = 20（残差）
• 第2次预测：上一轮残差20岁作为目标值，预测成16岁；20 – 16 = 4 （残差）
• 第3次预测：上一轮的残差4岁作为目标值，预测成3.2岁；4 – 3.2 = 0.8（残差）
• 若三次预测的结果串联起来： 80 + 16 + 3.2 = 99.2
• 通过拟合残差可将多个弱学习器组成一个强学习器，这就是提升树的最朴素思想

• 上图中所说的新模型指的是集成学习模型；残差拟合模型就是集成学习中使用到的弱学习器

上面提到的残差是什么呢？

假设:

1. 我们前一轮迭代得到的强学习器是：f_t-1(x)
2. 损失函数是：L(y,f_​t−1(x))
3. 本轮迭代的目标是找到一个弱学习器：h_t(x)
4. 让本轮的损失最小化: L(y, f_t(x))=L(y, f_t−1(x)) + h_t(x))

当采用平方损失函数时:

则:

令：R = y - f_t-1(x)，则:

此处，R 是当前模型拟合数据的残差（residual）

所以，对于残差提升树来说只需要简单地拟合当前模型的残差。

2. 梯度提升树（GBDT）

梯度提升树不再使用拟合残差，而是利用最速下降的近似方法，利用损失函数的负梯度作为提升树算法中的残差近似值。

假设: 损失函数仍然为平方损失, 则每个样本要拟合的负梯度为:

此时, 我们发现 GBDT 拟合的负梯度就是残差，或者说对于回归问题，拟合的目标值就是残差。

如果我们的 GBDT 进行的是分类问题，则损失函数变为 logloss，此时拟合的目标值就是该损失函数的负梯度值。

• GBDT - 回归任务，拟合的是残差（损失函数的负梯度）
• GBDT - 分类任务，拟合的是分类的损失函数负梯度（比如损失函数采用logloss）

3. GBDT算法实现案例

3.1 初始化弱学习器（CART树）

我们通过计算当模型预测值为何值时，会使得第一个基学习器的平方误差最小，即：求损失函数对 f(x_i) 的导数，并令导数为0.

3.2 构建第一个弱学习器（CART树）

由于我们拟合的是样本的负梯度，即：

由此得到数据表如下：

损失计算：

上表中平方损失计算过程说明（以切分点1.5为例）：

1. 切分点1.5 将数据集分成两份 [5.56],[5.56 5.7 5.91 6.4 6.8 7.05 8.9 8.7 9. 9.05]

2. 第一份的平均值为5.56 第二份数据的平均值为（5.7+5.91+6.4+6.8+7.05+8.9+8.7+9+9.05）/9 = 7.5011

3. 由于是回归树，每份数据的平均值即为预测值，则可以计算误差，第一份数据的误差为0，第二份数据的平方误差为 :

( 5.70 − 7.5011 ) 2 + ( 5.91 − 7.5011 ) 2 + . . . + ( 9.05 − 7.5011 ) 2 = 15.72308 (5.70-7.5011)^2+(5.91-7.5011)^2+...+(9.05-7.5011)^2 = 15.72308 (5.70−7.5011)2+(5.91−7.5011)2+...+(9.05−7.5011)2=15.72308

以 6.5 作为切分点损失最小，构建决策树如下：

• 以6.5进行划分，左侧和右侧样本的输出值采用负梯度的平均值

3.3 构建第二个弱学习器（CART树）

以 3.5 作为切分点损失最小，构建决策树如下：

• 以3.5进行划分，左侧和右侧样本的输出值采用负梯度的平均值

3.4 构建第三个弱学习器（CART树）

以 6.5 作为切分点损失最小，构建决策树如下：

3.5 最终强学习器

以把x=6样本为例：输入到最终学习器中的结果 ：7.31 + (-1.07) + 0.22 + 0.15 = 6.61

4. GBDT算法

1.初始化弱学习器

f 0 ( x ) = arg ⁡ min ⁡ c ∑ i = 1 N L ( y i , c ) f_0(x)=\arg\min_c\sum_{i=1}^NL(y_i,c) f0​(x)=argcmin​i=1∑N​L(yi​,c)

2.对 m = 1 , 2 , ⋯   , M m=1,2,\cdots,M m=1,2,⋯,M有：

（a）对每个样本 i = 1 , 2 , ⋯   , N i=1,2,\cdots,N i=1,2,⋯,N，计算负梯度，回归任务即残差

r i m = − [ ∂ L ( y , f ( x i ) ) ∂ f ( x i ) ] = y i − f m − 1 ( x i ) r_{im}=-\left[\frac{\partial L(y,f(x_i))}{\partial f(x_i)}\right]=yi - f_{m-1}(x_i) rim​=−[∂f(xi​)∂L(y,f(xi​))​]=yi−fm−1​(xi​)

（b）将上步得到的残差作为样本新的真实值，并将数据 ( x i , r i m ) , i = 1 , 2 , . . N (x_i,r_{im}), i=1,2,..N (xi​,rim​),i=1,2,..N作为下棵树的训练数据，得到一颗新的回归树 f m ( x ) f_{m} (x) fm​(x)其对应的叶子节点区域为 R j m , j = 1 , 2 , ⋯   , J R_{jm}, j =1,2,\cdots,J Rjm​,j=1,2,⋯,J。其中J为回归树t的叶子节点的个数。

（c）对叶子区域 j = 1 , 2 , ⋯   , J j=1,2,\cdots,J j=1,2,⋯,J计算最佳拟合值

Υ j m = arg ⁡ min ⁡ ⏟ Υ ∑ x i ∈ R j m L ( y i , f m − 1 ( x i ) + Υ ) \Upsilon_{jm}=\underbrace{\arg\min}_{\Upsilon}\sum_{x_i\in R_{jm}}L(y_i, f_{m-1}(x_i)+\Upsilon) Υjm​=Υ argmin​​xi​∈Rjm​∑​L(yi​,fm−1​(xi​)+Υ)

• Υ \Upsilon Υ相当于是在上一个学习器的残差基础上加了一个修正项

（d）更新强学习器

f m ( x ) = f m − 1 ( x ) + ∑ i = 1 J r j m I ( x ∈ R j m ) f_m(x)=f_{m-1}(x)+\sum_{i=1}^Jr_{jm}I(x\in R_{jm}) fm​(x)=fm−1​(x)+i=1∑J​rjm​I(x∈Rjm​)

（3）得到最终学习器

f ( x ) = f M ( x ) = f 0 ( x ) + ∑ m = 1 M ∑ j = 1 J r j m I ( x ∈ R j m ) f(x)=f_M(x)=f_0(x)+\sum_{m=1}^M\sum_{j=1}^Jr_{jm}I(x \in R_{jm}) f(x)=fM​(x)=f0​(x)+m=1∑M​j=1∑J​rjm​I(x∈Rjm​)

5. 泰坦尼克号案例实战

该案例是在随机森林的基础上修改的，可以对比讲解。

数据地址：

titanic数据

5.1 导包并选取特征

#1.数据导入
#1.1导入数据
import  pandas as pd
#1.2.利用pandas的read.csv模块从互联网中收集泰坦尼克号数据集
titanic=pd.read_csv("data/titanic.csv")
titanic.info() #查看信息
#2人工选择特征pclass,age,sex
X=titanic[['pclass','age','sex']]
y=titanic['survived']
#3.特征工程
#数据的填补
X['age'].fillna(X['age'].mean(),inplace=True)

5.2 切分数据及特征处理

#数据的切分
from sklearn.model_selection import train_test_split
X_train, X_test, y_train, y_test =train_test_split(X,y,test_size=0.25,random_state=22)
#将数据转化为特征向量
from sklearn.feature_extraction import DictVectorizer
vec=DictVectorizer(sparse=False)
X_train=vec.fit_transform(X_train.to_dict(orient='records'))
X_test=vec.transform(X_test.to_dict(orient='records'))

5.3 三种分类器训练及预测

#4.使用单一的决策树进行模型的训练及预测分析
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
dtc=DecisionTreeClassifier()
dtc.fit(X_train,y_train)
dtc_y_pred=dtc.predict(X_test)
print("score",dtc.score(X_test,y_test))
#5.随机森林进行模型的训练和预测分析
from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier
rfc=RandomForestClassifier(random_state=9)
rfc.fit(X_train,y_train)
rfc_y_pred=rfc.predict(X_test)
print("score:forest",rfc.score(X_test,y_test))
#6.GBDT进行模型的训练和预测分析
from sklearn.ensemble import GradientBoostingClassifier
gbc=GradientBoostingClassifier()
gbc.fit(X_train,y_train)
gbc_y_pred=gbc.predict(X_test)
print("score:GradientBoosting",gbc.score(X_test,y_test))

5.4 三种分类器性能评估

#7.性能评估
from sklearn.metrics import classification_report
print("dtc_report:",classification_report(dtc_y_pred,y_test))
print("rfc_report:",classification_report(rfc_y_pred,y_test))
print("gbc_report:",classification_report(gbc_y_pred,y_test))

6. 集成算法多样性

集成学习中，个体学习器多样性越大越好。通常为了增大个体学习器的多样性，在学习过程中引入随机性。常用的方法包括：对数据样本进行扰动、对输入属性进行扰动、对算法参数进行扰动。

6.1 数据样本扰动

给定数据集，可以使用采样法从中产生出不同的数据子集。然后在利用不同的数据子集训练出不同的个体学习器。

该方法简单有效，使用广泛。

（1）数据样本扰动对于“不稳定学习器”很有效。“不稳定学习器”是这样一类学习器：训练样本稍加变化就会导致学习器有显著的变动，如决策树和神经网络等。

（2）数据样本扰动对于“稳定学习器”无效。“稳定学习器”是这样一类学习器：学习器对于数据样本的扰动不敏感，如线性学习器、支持向量机、朴素贝叶斯、K近邻学习器等。

如Bagging算法就是利用Bootstrip抽样完成对数据样本的自助采样。

6.2 输入属性的扰动

训练样本通常由一组属性描述，可以基于这些属性的不同组合产生不同的数据子集，然后在利用这些数据子集训练出不同的个体学习器。

（1）若数据包含了大量冗余的属性，则输入属性扰动效果较好。此时不仅训练出了多样性大的个体，还会因为属性数量的减少而大幅节省时间开销。同时由于冗余属性多，即使减少一些属性，训练个体学习器也不会很差。

（2）若数据值包含少量属性，则不宜采用输入属性扰动法。

6.3 算法参数的扰动

通常可以通过随机设置不用的参数，比如对模型参数加入小范围的随机扰动，从而产生差别较大的个体学习器。

在使用交叉验证法（GridSearch网格搜索）来确定基学习器的参数时，实际上就是用不同的参数训练出来了多个学习器，然后从中挑选出效果最好的学习器。集成学习相当于将所有这些学习器利用起来了。

随机森林学习器就结合了数据样本的扰动及输入属性的扰动。

7. 小结

1. 提升树中的每一个弱学习器通过拟合残差来构建强学习器
2. 梯度提升树中的每一个弱学习器通过拟合负梯度来构建强学习器

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