一、树型结构
1.1概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。
特点： 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继 树是递归定义的。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
重点：
结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为3
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为3
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：K、L、F、G、M、I...等节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4 树的
了解：
非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、H...等节点为分支结点
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：E、G互为兄弟结点
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林
1.2树的表示形式
包括双亲表示法， 孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法。
常用孩子兄弟表示法
class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}
二、二叉树
2.1 概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
由上图可知：
1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
2.2 两种特殊的二叉树
1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵 二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.3 二叉树的性质
1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)(i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k-1 (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2(n+1) 上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i 的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n,左孩子序号：2i+1,否则无左孩子
若2i+2<n,右孩子序号：2i+2,否则无右孩子
2.4 二叉树的存储
二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
顺序存储在9.PriorityQueue章节中讲解
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式
// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}孩子双亲表示法后序在平衡树章节涉及
2.5 二叉树的基本操作
2.5.1 快速创建一颗简单的二叉树
public class BinaryTree {
class TreeNode {
public Character val;
public TreeNode left;
public TreeNode right;
public TreeNode(Character val) {
this.val = val;
}
}
public TreeNode createTree() {
TreeNode A = new TreeNode('A');
TreeNode B = new TreeNode('B');
TreeNode C = new TreeNode('C');
TreeNode D = new TreeNode('D');
TreeNode E = new TreeNode('E');
TreeNode F = new TreeNode('F');
TreeNode G = new TreeNode('G');
TreeNode H = new TreeNode('H');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
C.left = F;
C.right = G;
E.right = H;
return A;
}
public int i = 0;
public TreeNode createTree(String str) {
TreeNode root = null;
if(str.charAt(i) != '#') {
root = new TreeNode(str.charAt(i));
i++;
root.left = createTree(str);
root.right = createTree(str);
}else {
i++;
}
return root;
}
}2.5.2 二叉树的遍历
1.前中后序遍历
遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结 点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。
// 前序遍历
public void preOrder(TreeNode root)
{
if (root == null) {
return;
}
System.out.print(root.val + " ");
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
// 中序遍历
public void inOrder(TreeNode root)
{
if (root == null) {
return;
}
inOrder(root.left);
System.out.print(root.val + " ");
inOrder(root.right);
}
// 后序遍历
public void postOrder(TreeNode root)
{
if (root == null) {
return;
}
postOrder(root.left);
postOrder(root.right);
System.out.print(root.val + " ");
}
2.层序遍历
从上到下，从左到右逐层依次遍历
2.5.3 二叉树的基本操作
// 获取树中节点的个数
public int size(TreeNode root) {
if(root == null) {
return 0;
}
return size(root.left)
+ size(root.right) + 1;
}
// 获取叶子节点的个数--遍历思路
public static int leafNodeCount = 0;
public void getLeafNodeCount0(TreeNode root) {
if(root == null) {
return;
}
if(root.left == null && root.right == null) {
leafNodeCount++;
}
getLeafNodeCount0(root.left);
getLeafNodeCount0(root.right);
}
// 获取叶子节点的个数--子问题思路
public int getLeafNodeCount(TreeNode root) {
if(root == null) {
return 0;
}
if(root.left == null && root.left == null) {
return 1;
}
return getLeafNodeCount(root.left)
+ getLeafNodeCount(root.right);
}
// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k) {
if(root == null) {
return 0;
}
if(k == 1) {
return 1;
}
return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)
+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
}
/**
* 获取二叉树的高度
* 时间复杂度O(N)
* @param root
* @return
*/
int getHeight(TreeNode root) {
if(root == null) {
return 0;
}
int leftHeight = getHeight(root.left);
int rightHeight = getHeight(root.right);
return Math.max(leftHeight,rightHeight) + 1;
}
/**
* 检测值为value的元素是否存在
* 时间复杂度O(N)
* 空间复杂度O(logN)
* @param root
* @param val
* @return
*/
TreeNode find(TreeNode root, char val) {
if(root == null) {
return null;
}
if (root.val == val) {
return root;
}
TreeNode leftVal = find(root.left,val);
if(leftVal != null) {
return leftVal;
}
TreeNode rightVal = find(root.right,val);
if(rightVal != null) {
return rightVal;
}
return null;
}
//层序遍历
public void levelOrder0(TreeNode root) {
if (root == null) return;
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(root);
while(!queue.isEmpty()) {
TreeNode cur = queue.poll();
System.out.print(cur.val + " ");
if(cur.left != null) {
queue.offer(cur.left);
}
if(cur.right != null) {
queue.offer(cur.right);
}
}
System.out.println();
}
// 判断一棵树是不是完全二叉树
public boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
if (root == null) return true;
queue.offer(root);
while(!queue.isEmpty()) {
TreeNode cur = queue.poll();
if(cur != null) {
queue.offer(cur.left);
queue.offer(cur.right);
}else {
break;
}
}
while(!queue.isEmpty()){
if(queue.peek() != null) {
return false;
}
queue.poll();
}
return true;
}