基于拉格朗日插值多项式的Shamir's Secret Sharing 加密算法

Shamir's Secret Sharing 是一种加密算法，由 Adi Shamir 于 1979 年提出，旨在将一个秘密（如密码、密钥等）分割成多个部分，并分发给不同的参与者。只有当足够数量的参与者（大于等于一个特定的阈值）将他们的份额组合在一起时，秘密才能恢复。少于阈值数量的参与者无法得到任何有用的信息。

核心思想

Shamir's Secret Sharing 基于拉格朗日插值多项式。它通过将秘密嵌入多项式的常数项，然后生成该多项式的多个点，这些点分别分发给参与者。

工作原理：

1. 设定秘密：设一个秘密 \(S\)。
2. 定义阈值 \(t\)：定义一个阈值 \(t\)，即恢复秘密所需的最少参与者数。
3. 生成多项式：选择一个度为 \(t-1\) 的随机多项式 \(f(x)\)，其中常数项 \(f(0) = S\)（即秘密），其余系数为随机生成。 \[ f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{t-1}x^{t-1} \] 其中，\(a_0 = S\)。
4. 分发份额：计算多项式在不同点的值，如 \(f(1), f(2), \dots, f(n)\)，并将这些值作为份额分发给参与者。
5. 恢复秘密：如果有至少 \(t\) 个份额，可以通过拉格朗日插值恢复多项式 \(f(x)\)，并计算 \(f(0)\)，从而恢复秘密。

举例：

假设你有一个秘密 \(S = 1234\)，你希望至少 3 个人联合起来才能恢复秘密（即 \(t=3\)）。你可以生成如下随机二次多项式： \[ f(x) = 1234 + 166x + 94x^2 \] 然后计算该多项式在不同点的值，例如 \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3)\) 分别为每个参与者的份额。只有至少 3 个参与者将他们的份额组合在一起，才能通过插值得到原来的多项式并恢复秘密。

应用场景

• 密钥管理：Shamir's Secret Sharing 可以用来分发和管理密钥，确保密钥只有在满足一定条件（如一定数量的参与者同意）时才能被恢复。
• 分布式系统：在分布式系统中，可以通过分发密钥片段来保护重要数据，防止单点故障或单个节点被攻破导致的密钥泄露。
• 加密投票系统：确保投票秘密只有在满足某个条件（例如，超过一定数量的选民）后才能被揭示。

这种算法非常安全且可靠，广泛应用于各种需要高安全性的场景。