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一、采用ACO求解 TSP
求解代码在文中，后续会出其他算法求解TSP问题，你们参加数学建模竞赛只需要会改代码即可。
用来对比此专栏的
遗传算法（GA算法）求解实例—旅行商问题 (TSP)
粒子群算法（PSO算法）求解实例—旅行商问题 (TSP)
模拟退火算法（SA算法）求解实例—旅行商问题 (TSP)
注意每次运行SA算法得到的结果可能不太一样。
我知道大家对原理性的东西不感兴趣，我把原理性的东西放在后面，大家如果需要写数模论文可以拿去，但是记得需要改一改，要不然查重过不去。
二、 旅行商问题
2.1 实际例子：求解 6 个城市的 TSP
假设有 6 个城市，其坐标如下：
| 城市 | X 坐标 | Y 坐标 |
|---|---|---|
| 0 | 10 | 20 |
| 1 | 30 | 40 |
| 2 | 20 | 10 |
| 3 | 40 | 30 |
| 4 | 10 | 10 |
| 5 | 50 | 20 |
目标是找到一个经过所有城市且总距离最短的路径。
2.2 求解该问题的代码
import numpy as np
import random
# 定义城市坐标
cities = np.array([
[10, 20],
[30, 40],
[20, 10],
[40, 30],
[10, 10],
[50, 20]
])
# 计算两城市之间的欧几里得距离
def calculate_distance(city1, city2):
return np.sqrt(np.sum((city1 - city2) ** 2))
# 计算所有城市之间的距离矩阵
def calculate_distance_matrix(cities):
num_cities = len(cities)
distance_matrix = np.zeros((num_cities, num_cities))
for i in range(num_cities):
for j in range(num_cities):
if i != j:
distance_matrix[i][j] = calculate_distance(cities[i], cities[j])
return distance_matrix
# 蚁群算法主函数
def ant_colony_optimization(cities, num_ants=10, num_iterations=100, alpha=1.0, beta=2.0, evaporation_rate=0.5, Q=100):
num_cities = len(cities)
distance_matrix = calculate_distance_matrix(cities)
# 初始化信息素矩阵
pheromone_matrix = np.ones((num_cities, num_cities))
# 存储最佳路径和最短距离
best_path = None
best_distance = float('inf')
for iteration in range(num_iterations):
all_paths = []
all_distances = []
# 每只蚂蚁构建一条路径
for ant in range(num_ants):
# 随机选择起始城市
current_city = random.randint(0, num_cities - 1)
path = [current_city]
visited = set(path)
# 构建路径
for _ in range(num_cities - 1):
probabilities = []
for next_city in range(num_cities):
if next_city not in visited:
pheromone = pheromone_matrix[current_city][next_city] ** alpha
visibility = (1.0 / distance_matrix[current_city][next_city]) ** beta
probabilities.append((next_city, pheromone * visibility))
# 选择下一个城市
next_city = random.choices(
[city for city, _ in probabilities],
[prob for _, prob in probabilities]
)[0]
path.append(next_city)
visited.add(next_city)
current_city = next_city
# 计算路径距离并存储
path_distance = sum(distance_matrix[path[i], path[i + 1]] for i in range(num_cities - 1))
path_distance += distance_matrix[path[-1], path[0]] # 回到起点
all_paths.append(path)
all_distances.append(path_distance)
# 更新全局最优路径
if path_distance < best_distance:
best_distance = path_distance
best_path = path
# 更新信息素矩阵
pheromone_matrix *= (1 - evaporation_rate)
for path, distance in zip(all_paths, all_distances):
for i in range(num_cities - 1):
pheromone_matrix[path[i]][path[i + 1]] += Q / distance
pheromone_matrix[path[-1]][path[0]] += Q / distance
print(f"Iteration {iteration + 1}: Best distance = {best_distance:.2f}")
return best_path, best_distance
# 运行蚁群算法
best_path, best_distance = ant_colony_optimization(cities)
print("Best path:", best_path)
print("Best distance:", best_distance)
2.3 代码运行过程截屏
2.4 代码运行结果截屏（后续和其他算法进行对比）
三、 如何修改代码？
这一部分是重中之重，大家参加数学建模肯定是想跑出自己的结果，所以大家只需要把自己遇到的数学问题，抽象成TSP问题，然后修改代码的城市坐标，然后运行即可。
# 定义城市坐标
cities = np.array([
[10, 20],
[30, 40],
[20, 10],
[40, 30],
[10, 10],
[50, 20]
])
3.1 减少城市坐标，如下：
# 定义城市坐标
cities = np.array([
[10, 20],
[30, 40],
[20, 10],
[40, 30]
])
3.2 增加城市坐标，如下：
# 定义城市坐标
cities = np.array([
[10, 20],
[30, 40],
[20, 10],
[40, 30],
[30, 40],
[20, 10],
[10, 10],
[50, 20]
])
四、 蚁群算法 (Ant Colony Optimization, ACO) 原理
4.1 ACO算法定义
蚁群算法 (Ant Colony Optimization, ACO) 是一种基于群体智能的优化算法，由 Marco Dorigo 于 1992 年提出。蚁群算法模拟了自然界中蚂蚁群体寻找最短路径的行为，利用蚂蚁在行走过程中留下的信息素来引导后续蚂蚁选择路径。通过不断迭代和信息素更新，算法逐渐找到问题的最优解或近似最优解。ACO 主要用于求解组合优化问题，如旅行商问题 (TSP)、背包问题、车辆路径问题等。
4.2 ACO算法的基本思想
蚁群算法的核心思想是利用信息素 (Pheromone) 的正反馈机制来逐步优化解。蚂蚁在行走过程中会释放信息素，信息素的浓度与路径的质量（通常是路径的长度或花费的时间）有关。路径越短，信息素越浓，后续蚂蚁选择该路径的概率就越高。这种机制可以通过多次迭代不断强化优质路径，逐渐逼近最优解。
4.3 ACO算法的工作原理
-
初始化：
- 在图的每条边上初始化一个较小的信息素值，表示蚂蚁可以选择的路径。
- 设置蚂蚁数量、最大迭代次数、信息素挥发系数、信息素重要性因子
α和启发信息重要性因子β等参数。
-
蚂蚁构建解：
- 每只蚂蚁从随机选择的起始节点出发，按照一定的概率规则选择下一个节点（城市）。
- 选择下一个节点的概率
P_{ij}由信息素浓度和启发信息共同决定：
P i j = ( τ i j ) α ⋅ ( η i j ) β ∑ k ∈ allowed ( τ i k ) α ⋅ ( η i k ) β P_{ij} = \frac{(\tau_{ij})^\alpha \cdot (\eta_{ij})^\beta}{\sum_{k \in \text{allowed}} (\tau_{ik})^\alpha \cdot (\eta_{ik})^\beta} Pij=∑k∈allowed(τik)α⋅(ηik)β(τij)α⋅(ηij)β
其中：- τ i j \tau_{ij} τij 是节点 i i i 和 j j j 之间的信息素浓度。
- η i j = 1 d i j \eta_{ij} = \frac{1}{d_{ij}} ηij=dij1是节点 i i i 和 j j j 之间距离的倒数，表示启发信息（距离越短，选择的概率越大）。
- α \alpha α 和 β \beta β 分别是信息素和启发信息的重要性因子。
-
路径评估：
- 每只蚂蚁在构建完一条完整路径后，计算路径的总距离（或其他目标函数值）。
-
信息素更新：
- 信息素挥发：为了避免信息素无限积累，所有路径上的信息素会以一定比例挥发：
τ i j ← ( 1 − ρ ) ⋅ τ i j \tau_{ij} \leftarrow (1 - \rho) \cdot \tau_{ij} τij←(1−ρ)⋅τij
其中，(\rho) 是信息素挥发系数，取值在 (0, 1) 之间。 - 信息素增量：每只蚂蚁根据其找到的路径长度在路径上留下信息素：
τ i j ← τ i j + ∑ 所有蚂蚁 Δ τ i j k \tau_{ij} \leftarrow \tau_{ij} + \sum_{\text{所有蚂蚁}} \Delta \tau_{ij}^{k} τij←τij+所有蚂蚁∑Δτijk
其中， Δ τ i j k = Q L k \Delta \tau_{ij}^{k} = \frac{Q}{L^{k}} Δτijk=LkQ， L k L^{k} Lk 是蚂蚁 k k k 找到的路径长度， Q Q Q 是常数。
- 信息素挥发：为了避免信息素无限积累，所有路径上的信息素会以一定比例挥发：
-
迭代和终止：
- 重复步骤 2-4，直到达到最大迭代次数或找到满意解。
4.4 ACO算法的参数
- 蚂蚁数量：每次迭代中构建路径的蚂蚁数量，通常取值与问题规模相关。
- 信息素重要性因子 (
α)：控制蚂蚁在路径选择时对信息素的依赖程度。α越大，蚂蚁对已有路径的信息素依赖程度越高。 - 启发信息重要性因子 (
β)：控制蚂蚁在路径选择时对启发信息（如距离的倒数）的依赖程度。β越大，蚂蚁对距离的依赖程度越高。 - 信息素挥发系数 (
ρ)：控制信息素的挥发速率。较大的挥发率会使得历史信息素影响较小，有助于探索新路径。 - 常数 (
Q)：用于控制信息素增量的规模，通常根据问题的特点进行设置。
4.5 ACO算法的优缺点
4.5.1 优点
- 强大的全局搜索能力：ACO 通过多只蚂蚁的并行搜索和信息素的正反馈机制，能够有效避免陷入局部最优解，具有较强的全局搜索能力。
- 适应性强：算法能够动态调整信息素的分布，自适应地寻找问题的最优解，适用于各种组合优化问题。
- 易于并行化：每只蚂蚁独立构建解，适合并行计算。
4.5.2 缺点
- 收敛速度较慢：由于依赖于大量蚂蚁的并行搜索和信息素更新，ACO 的收敛速度相对较慢。
- 参数敏感：ACO 对参数（如蚂蚁数量、信息素重要性、启发信息重要性等）较为敏感，需要进行调优以获得最佳效果。
- 计算复杂度高：在大规模问题中，计算复杂度较高，尤其是在信息素更新阶段。
4.6 ACO算法的应用场景
- 旅行商问题 (TSP)：寻找经过所有城市的最短路径。
- 车辆路径问题 (VRP)：寻找最优的车辆调度路径。
- 任务分配和调度：如生产调度、工作车间调度问题等。
- 网络路由优化：在计算机网络中寻找最优的路由路径。
- 图像处理：图像分割、边缘检测等。