最小生成树之 Prim 算法学习笔记

emm...在一通瞎搞奋战之后，prim被我收入囊中！

\(prim\) 的思路其实非常简单，和 \(dij\) 有一丝相似之处，可能会搞混

设最小生成树上的集合为 \(S\)，所有点一开始到 \(S\) 的距离都是 \(+ \infty\)

从任意一个点开始，将其放入 \(S\) ，然后更新与这个点相邻的点到 \(S\) 的距离

再找到不在 \(S\) 中的且离 \(S\) 距离最小的点\(^{(注释1)}\)，将其放入 \(S\) 然后更新与这个点相邻的点到 \(S\) 的距离

不断重复上一步直至所有的点都在 \(S\) 之中，最小生成树就这么建好了

注释1：

对于这一步有两种实现方式：

法一：直接暴力遍历所有的点 复杂度 \(O(n)\)

这样实现的话总复杂度为 \(O(n^2+m)\)

法二：用优先队列堆对结构来找 复杂度 \(O(log\ m)\)

这样的总复杂度为 \(O((n+m) \ log \ n)\)

当边数m很大时，法二的复杂度还不如暴力的法一

所以 当图为稀疏图时用法二 当图为稠密图时用法一

细节见代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
struct edge
{
    int f,t;
    int w;
};
edge edges[1000000];
struct node
{
    bool done;
    int dis=1000000000;
    vector<int > to;
};
node nodes[100000];
int ans;
priority_queue<pair<int,int> ,vector<pair<int,int> > ,greater<pair<int,int> > > q;

int prim()
{
    q.push({0,1});
    pair<int ,int > now_;
    int the_bian,the_dis,to_;
    int tot_dis=0,had_chosen=0;
    while(!q.empty())
    {
        now_=q.top();
        q.pop();

        the_bian=now_.second;
        the_dis=now_.first;
        if(nodes[the_bian].done==0)//如果不在S中
        {
            nodes[the_bian].done=1;
            tot_dis+=the_dis;
            had_chosen++;
        
            for(int yy=0;yy<nodes[the_bian].to.size();yy++)//遍历所有出边
            {
                to_=edges[nodes[the_bian].to[yy]].t;
                if(nodes[to_].done==0)
                {
                    if(edges[nodes[the_bian].to[yy]].w<nodes[to_].dis)//如果距离比之前的进，则更新，入队
                    {
                        nodes[to_].dis=edges[nodes[the_bian].to[yy]].w;//更新距离
                        q.push({nodes[to_].dis,to_});//入队
                    }
                }
            }
        }
        else
        {
            continue;
        }
    }  
    if(had_chosen<n)
    {
        return -99999;
    }  
    else
    {
        return tot_dis;
    }
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
    int a,b,c;
    for(int ee=1;ee<=m;ee++)
    {
        cin>>a>>b>>c;//建边
        edges[ee].f=a;
        edges[ee].t=b;
        edges[ee].w=c;
        edges[ee+m].f=b;
        edges[ee+m].t=a;
        edges[ee+m].w=c;
        nodes[a].to.push_back(ee);
        nodes[b].to.push_back(ee+m);
    }
    ans=prim();
    if(ans==-99999)
    {
        cout<<"orz";
    }
    else
    {
        cout<<ans;
    }


    return 0;
}
//prim