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Floyd算法
Floyd算法用于求解多源最短路问题（求多个起点到多个终点的多条最短路径）。在前面学习的dijkstra算法、Bellman算法都是求解单源最短路的问题（即只能有一个起点）。
注意：Floyd算法对边的权值正负没有要求，都可以处理。
Floyd的核心思想是动态规划。
动态规划的五部曲：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义。
- 确定递推公式。
- dp数组如何初始化。
- 确定遍历顺序。
- 举例推导dp数组。
根据动态规划的五部曲来解释Floyd算法的遍历过程。
1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义。
把dp数组命名为grid数组，用来来存图。
grid[i][j][k] = m表示节点i到节点j中以[i...k]集合为中间节点的最短距离为m。
2. 确定递推公式。
分两种情况：
- 节点i到节点j的最短路径经过节点k。
- 节点i到节点j的最短路径不经过节点k。
对于第一种情况：grid[i][j][k] = grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1]。
对于第二种情况：grid[i][j][k] = grid[i][j][k - 1]。
由于我们在求解最短路，因此对于这两种情况要取最小值：
grid[i][j][k] = min(grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1], grid[i][j][k - 1])
3. dp数组如何初始化。
grid[i][j][k] = m，表示节点i到节点j以[1...k]集合为中间节点的最短距离为m。
4. 确定遍历顺序。
从递推公式：grid[i][j][k] = min(grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1]， grid[i][j][k - 1])可以看出，我们需要三个for循环，分别遍历i，j和k。而k依赖于k - 1，i和j的到并不依赖与i - 1或者j - 1等等。
其中遍历k的for循环一定是在最外面，这样才能一层一层去遍历。
暂不举例推导。
题目：97. 小明逛公园
题目链接：https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1155
文章讲解：https://www.programmercarl.com/kamacoder/0097.小明逛公园.html
题目状态：看题解
思路：
Floyd算法
代码：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
using namespace std;
int main()
{
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;
// 因为边的最大距离是10^4
vector<vector<vector<int>>> grid(n + 1, vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(n + 1, 10005)));
for(int i = 0; i < m; ++i)
{
cin >> p1 >> p2 >> val;
grid[p1][p2][0] = val;
grid[p2][p1][0] = val; // 注意这里是双向图
}
// 开始Floyd
for(int k = 1; k <= n; ++k)
{
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
for(int j = 1; j <= n; ++j)
{
grid[i][j][k] = min(grid[i][j][k - 1], grid[i][k][k - 1] + grid[k][j][k - 1]);
}
}
}
// 输出结果
int z, start, end;
cin >> z;
while(z--)
{
cin >> start >> end;
if(grid[start][end][n] == 10005) cout << -1 << endl;
else cout << grid[start][end][n] << endl;
}
}
空间优化：
我们只需要记录grid[i][j][1]和grid[i][j][0]就好，之后就是grid[i][j][1]和grid[i][j][0]交替滚动。
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;
vector<vector<int>> grid(n + 1, vector<int>(n + 1, 10005)); // 因为边的最大距离是10^4
for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val;
grid[p1][p2] = val;
grid[p2][p1] = val; // 注意这里是双向图
}
// 开始 floyd
for (int k = 1; k <= n; k++) {
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
grid[i][j] = min(grid[i][j], grid[i][k] + grid[k][j]);
}
}
}
// 输出结果
int z, start, end;
cin >> z;
while (z--) {
cin >> start >> end;
if (grid[start][end] == 10005) cout << -1 << endl;
else cout << grid[start][end] << endl;
}
}
A * 算法
Astar是一种广搜的改良版。有的是Astar是dijkstra的改良版。
其实只是场景不同而已 我们在搜索最短路的时候，如果是无权图（边的权值都是1）那就用广搜，代码简洁，时间效率和dijkstra差不多（具体要取决于图的稠密）
如果是有权图（边有不同的权值），优先考虑dijkstra。
而Astar关键在于启发式函数， 也就是影响广搜或者dijkstra从容器（队列）里取元素的优先顺序。
本博客中使用BFS版本的A*算法。
启发式函数要影响的就是队列里元素的排序。
这是影响BFS搜索方向的关键。
对队列里节点进行排序，就需要给每一个节点权值，如何计算权值呢？
每个节点的权值为F，给出公式为：F = G + H
- G：起点达到目前遍历节点的距离
- H：目前遍历的节点到达终点的距离
起点达到目前遍历节点的距离 + 目前遍历的节点到达终点的距离就是起点到达终点的距离。
本题的图是无权网格状，在计算两点距离通常有如下三种计算方式：
- 曼哈顿距离，计算方式： d = abs(x1-x2)+abs(y1-y2)
- 欧氏距离（欧拉距离） ，计算方式：d = sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 )
- 切比雪夫距离，计算方式：d = max(abs(x1 - x2), abs(y1 - y2))
x1, x2 为起点坐标，y1, y2 为终点坐标 ，abs 为求绝对值，sqrt 为求开根号，
选择哪一种距离计算方式 也会导致 A * 算法的结果不同。
动态模拟地址：https://kamacoder.com/tools/knight.html
题目：126.骑士的攻击
题目链接：https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1203
文章讲解：https://www.programmercarl.com/kamacoder/0126.骑士的攻击astar.html
题目状态：看题解
思路：
A*算法
代码：
#include <iostream>
#include <queue>
#include <string.h>
using namespace std;
int moves[1001][1001];
int dir[8][2] = {-2, -1, -2, 1, -1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, -1, 1, -2, -1, -2};
int b1, b2;
// F = G + H
// G = 从起点到该节点路径消耗
// H = 该节点到终点的预估消耗
struct Knight
{
int x, y;
int g, h, f;
// 重载运算符，从小到大排序
bool operator<(const Knight &k) const
{
return k.f < f;
}
};
priority_queue<Knight> que;
// 欧拉距离
int Heuristic(const Knight &k)
{
// 统一不开根号，这样可以提高精度
return (k.x - b1) * (k.x - b1) + (k.y - b2) * (k.y - b2);
}
void astar(const Knight &k)
{
Knight cur, next;
que.push(k);
while(!que.empty())
{
cur = que.top(); que.pop();
if(cur.x == b1 && cur.y == b2) break;
for(int i = 0; i < 8; ++i)
{
next.x = cur.x + dir[i][0];
next.y = cur.y + dir[i][1];
if(next.x < 1 || next.x > 1000 || next.y < 1 || next.y > 1000) continue;
if(!moves[next.x][next.y])
{
moves[next.x][next.y] = moves[cur.x][cur.y] + 1;
// 开始计算F
next.g = cur.g + 5; // 统一不开根号，这样可以提高精度，马走日，1*1+2*2=5
next.h = Heuristic(next);
next.f = next.g + next.h;
que.push(next);
}
}
}
}
int main()
{
int n, a1, a2;
cin >> n;
while(n--)
{
cin >> a1 >> a2 >> b1 >> b2;
memset(moves, 0, sizeof(moves));
Knight start;
start.x = a1;
start.y = a2;
start.g = 0;
start.h = Heuristic(start);
start.f = start.g + start.h;
astar(start);
while(!que.empty()) que.pop(); // 队列清空
cout << moves[b1][b2] << endl;
}
return 0;
}
最短路算法总结
