逻辑回归算法 0基础小白也能懂(附代码)
啥是逻辑回归算法
逻辑回归（Logistic Regression）是一种广泛用于分类任务的统计模型，特别适用于二元分类问题。尽管名称中带有“回归”，但逻辑回归主要用于分类。逻辑回归算法包含以下几个关键部分：线性回归与分类，Sigmoid 函数与决策边界，梯度下降与优化，正则化与缓解过拟合
线性回归与分类
分类问题和回归问题有一定的相似性，都是通过对数据集的学习来对未知结果进行预测，区别在于输出值不同。
分类问题的输出值是离散值（如垃圾邮件和正常邮件）。
回归问题的输出值是连续值（例如房子的价格）。
既然分类问题和回归问题有一定的相似性，那么我们能不能在回归的基础上进行分类呢？
可以使用『线性回归+阈值』解决分类问题，也就是根据回归的函数按照一个阈值来一分为二，但是单纯地通过将线性拟合的输出值与某一个阈值进行比较，这种方法用于分类非常不稳定呢。
但是当我们单纯地使用线性回归来解决分类问题时，输出是一个未限定范围的连续值。这样做存在几个问题：
1.范围不固定：线性回归的输出可能是任何实数（比如 -∞ 到 +∞），这使得我们无法确定一个合理的阈值来判断输出 属于哪个类别。例如，可能得到一个极大的正值或负值，难以直接映射为0或1。
2.阈值选择困难：为了将连续值映射到离散类别（例如 0 和 1），我们通常需要一个判定阈值。如果线性回归的输出值不在一个固定的范围内，选择一个合适的阈值会变得非常困难，尤其是在处理极端值时。
我们是否可以把这个结果映射到一个固定大小的区间内（比如\((0,1)\)），进而判断。
Sigmoid 函数与决策边界
当然可以，这就是逻辑回归做的事情，而其中用于对连续值压缩变换的函数叫做 Sigmoid 函数（也称 Logistic 函数，S函数）。
\(S(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}\)输出在\((0,1)\)之间。
上面见到了 Sigmoid 函数，下面我们来讲讲它和线性拟合的结合，如何能够完成分类问题，并且得到清晰可解释的分类器判定「决策边界」。决策边界就是分类器对于样本进行区分的边界。
那么，逻辑回归是怎么得到决策边界的，它与 Sigmoid 函数又有什么关系呢？文中讲到了两类决策边界，线性和非线性。
在这两张图中，右边的是我们的S函数，它将通过函数计算后的结果映射到了\((0,1)\)区间，那比如这里要做的就是二分类，就找0.5的那一条线，也就是在原函数中能将数据分成两组的函数，改变\(\theta_0,\theta_1,\theta_2\)之类的参数，比如线性参数的例子里就是-3,1,1，以这几个参数做出来的函数就是决策边界，0.5则是判断边界。
梯度下降与优化
损失函数
前一部分的例子中，我们手动取了一些参数\(\theta_0,\theta_1,\theta_2\)的取值，最后得到了决策边界。但大家显然可以看到，取不同的参数时，可以得到不同的决策边界。
哪一条决策边界是最好的呢？我们需要定义一个能量化衡量模型好坏的函数——损失函数（有时候也叫做「目标函数」或者「代价函数」）。我们的目标是使得损失函数最小化。总不能一直手动去取参数。
我们如何衡量预测值和标准答案之间的差异呢？最简单直接的方式是数学中的均方误差\(MSE=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} (f(x_i)-y_i)^2\)
均方误差损失（MSE）在回归问题损失定义与优化中广泛应用，但是在逻辑回归问题中不太适用。 因为Sigmoid 函数的变换使得我们最终得到损失函数曲线如下图所示，是非常不光滑凹凸不平的.
我们希望损失函数如下的凸函数。凸优化问题中，局部最优解同时也是全局最优解
在逻辑回归模型场景下，我们会改用对数损失函数（二元交叉熵损失），这个损失函数同样能很好地衡量参数好坏，又能保证凸函数的特性。对数损失函数的公式如下：
\(J(\theta)=-\frac{1}{m} [\sum_{i=1}^{m}y^{(i)}\log{h_{\theta}(x^{(i)})-(1-y^{(i)})\log{(1-h_{\theta}(x^{(i)})})}]\)
其中\(h_{\theta}(x^{(i)})\)表示的可以说是根据这个h函数预测的样本值，\(y^{(i)}\)表示样本取值，在其为正样本时取值为1，负样本时取值为0，正负样本就是我们之前说的分的那两类，比如正常邮件是正样本，垃圾邮件是负样本，我们分这两种情况来看看：
\(y^{(i)}=0\)：样本为负样本时，若\(h_{\theta}(x^{(i)})\)接近1（预测值为正样本），那么\(-\log{(1-h_\theta (x))}\)值就很大，也就是对应的惩罚也越大
\(y^{(i)}=1\)：样本为正样本时，若\(h_{\theta}(x^{(i)})\)接近0（预测值为负样本)，那么\(-\log{(h_\theta (x))}\)值就很大，也就是对应的惩罚也越大
通过惩罚大小就可以判断出参数好坏了。
梯度下降
损失函数可以用于衡量模型参数好坏，但我们还需要一些优化方法找到最佳的参数（使得当前的损失函数值最小）。最常见的算法之一是「梯度下降法」，逐步迭代减小损失函数（在凸函数场景下非常容易使用）。如同下山，找准方向（斜率），每次迈进一小步，直至山底。
梯度下降（Gradient Descent）法，是一个一阶最优化算法，通常也称为最速下降法。要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值，必须向函数上当前点对应梯度（或者是近似梯度）的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。
上图中，\(\alpha\)称为学习率（learning rate），直观的意义是，在函数向极小值方向前进时每步所走的步长。太大一般会错过极小值，太小会导致迭代次数过多。
正则化与缓解过拟合
曲线3就是过拟合，学的太死板了也就是，那咋办呢？
过拟合的一种处理方式是正则化，我们通过对损失函数添加正则化项，可以约束参数的搜索空间，从而保证拟合的决策边界并不会抖动非常厉害。如下图为对数损失函数中加入正则化项（这里是一个L2正则化项）
在损失函数后面的那一项就是L2正则化项，L2 正则化可以看作是对参数空间内欧氏距离的惩罚。其几何效果是缩小所有参数，使它们更加接近原点，从而降低模型复杂度，会惩罚较大的参数值，但不会直接将它们缩减为零。这种“平滑”的惩罚方式促使模型将所有特征的权重均衡分配，从而减少过拟合。
我们依然可以采用梯度下降对加正则化项的损失函数进行优化。
代码实现
下面使用了scikit-learn提供的乳腺癌数据集作为示例数据集
import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.metrics import accuracy_score, confusion_matrix, classification_report
from sklearn.datasets import load_breast_cancer
# 加载数据集
data = load_breast_cancer()
X = data.data
y = data.target
# 拆分数据集为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)
# 对特征进行标准化处理
scaler = StandardScaler()
X_train = scaler.fit_transform(X_train)
X_test = scaler.transform(X_test)
# 初始化并训练逻辑回归模型
model = LogisticRegression()
model.fit(X_train, y_train)
# 使用模型进行预测
y_pred = model.predict(X_test)
# 计算并打印准确率
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print(f"Accuracy: {accuracy:.2f}")
# 打印混淆矩阵
conf_matrix = confusion_matrix(y_test, y_pred)
print("Confusion Matrix:")
print(conf_matrix)
# 打印分类报告
class_report = classification_report(y_test, y_pred)
print("Classification Report:")
print(class_report)
结果如下
Accuracy: 0.98
Confusion Matrix:
[[ 62 1]
[ 2 106]]
Classification Report:
precision recall f1-score support
0 0.97 0.98 0.98 63
1 0.99 0.98 0.99 108
accuracy 0.98 171
macro avg 0.98 0.98 0.98 171
weighted avg 0.98 0.98 0.98 171