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从龟速乘到 $Miller-Rabin$ 算法(数论算法总结)

时间:2024-08-23 15:25:51浏览次数:9  
标签:龟速 return int Miller mid long re 算法

发现自己竟然菜到不太会龟速乘,所以把 \(Miller-Rabin\) 算法所需要用到的算法全学了一遍……

龟速乘

龟速乘是一种 \(O(\log n)\) 的乘法计算方法。

考虑有时普通乘法取模会爆 \(long\ long\),因此我们考虑用类似快速幂的方式进行乘法运算。

int mul(int x,int y,int c){
	x%=c,y%=c;
	int re=0;
	while(y){
		if(y&1) re+=x,re-=(re>=c)?c:0;
		x+=x,x-=(x>=c)?c:0,y>>=1;
	}return re;
}

快速乘

快速乘是一种 \(O(1)\) 的乘法计算方法。

发现 \(long\ double\) 可以存储 \(10^{300}\) 的数,所以考虑使用 \(long\ double\) 进行乘法运算。我还没有遇到过出锅的情况。

int mul(int a,int b,int p){
	return (a*b-(int)((long double)a/p*b)*p+p)%p;
}

\(Miller-Rabin\) 算法

哈,这玩意错的跟对的一样。

和快速幂求逆元一样,我们考虑费马小定理。

我们可以得到:

设 \(f(x)=a^{x-1}\bmod x\),则当 \(f(p)\ne 1\) 时,\(p\) 一定是合数;当 \(p\) 是质数时,\(f(p)=1\)。

但是正确率不是人类所能接受的,所以考虑优化。

考虑下面这个性质:

若 \(b^2\bmod p=1\),\(p\) 为质数,则 \(b-1|p\) 或 \(b+1|p\)。

这样我们就可以进行二次探测,正确率大大提高。

我们设用于测试的集合为 \(A\),则 \(A=\{2,3,5,7,11,13,17,19,23\}\) 时,对于 \(x\le 10^{18}\) 的情况,都可以正确判断 \(x\) 的素性。

int mr[9]={2,3,5,7,11,13,17,19,23};
int mul(int a,int b,int p){
	return (a*b-(int)((long double)a/p*b)*p+p)%p;
}int qpow(int x,int y,int c){
	int re=1;
	while(y){
		if(y&1) re=mul(re,x,c);
		x=mul(x,x,c),y>>=1;
	}return re;
}int check(int x,int md){
	int c=md-1,mid=qpow(x,c,md);
	if(mid!=1) return 0;
	while(!(c&1)&&mid==1)
		c>>=1,mid=qpow(x,c,md);
	return (mid==1||mid==md-1);
}int miller_rabin(int x){
	if(x<2) return 0;
	if(x<=23){
		for(int i=0;i<9;i++)
			if(mr[i]==x) return 1;
		return 0;
	}for(int i=0;i<9;i++)
		if(!check(mr[i],x)) return 0;
	return 1;
}

标签:龟速,return,int,Miller,mid,long,re,算法
From: https://www.cnblogs.com/chang-an-22-lyh/p/18375916/shulun1-zj

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