数据结构与算法--二叉排序树

文章目录

• • 回顾
  • 提要
  • 1.二叉排序树的定义与特性
  • 2.二叉排序树的构建与插入
  • 3.二叉排序树的查找
  • 4.二叉排序树的删除
  • 5.二叉排序树的优点
  • 小结

回顾

• 查找算法：顺序查找、折半查找、索引查找。
• 存储结构：顺序表、链表。
• 优点：算法简单，查找效率高（折半查找）。
• 缺点：查找效率低（顺序查找），需要额外存储空间（索引查找）。

提要

• 定义二叉排序树。
• 结点的插入与二叉排序树的创建。
• 二叉排序树中进行查找。
• 结点的删除：叶子、单分支、双分支结点。

1.二叉排序树的定义与特性

• 定义：二叉排序树是一棵具有特定顺序性质的二叉树。
• 特性：
  1. 左子树上所有结点的关键字小于根结点的关键字。
  2. 右子树上所有结点的关键字大于根结点的关键字。
  3. 左、右子树本身也是二叉排序树。
• 注意：没有相同关键字的结点。
• 树表：以二叉树或树作为表的组织形式。
  • 树表是一类动态查找表，不仅适合于数据查找，也适合于表的插入和删除操作。
• 常见的树表：
  • 二叉排序树
  • 平衡二叉树(AVL树)
  • B树、B+树
  • 红黑树
    
    

2.二叉排序树的构建与插入

• 插入规则：
  • 若二叉树为空，新结点作为根结点插入。
  • 若新结点小于根结点，插入到根的左子树上。
  • 若新结点大于根结点，插入到根的右子树上。
• 二叉排序树的插入过程可看成是在有序序列中查找插入位置的过程。
• 全部结点插入后，即无形中完成了排序过程。
• 示例：通过关键字序列构建二叉排序树的过程。
• 
• 二叉排序树结点插入的实现:
  
• 二叉排序树结点插入的递归算法:

3.二叉排序树的查找

• 查找过程：从根节点开始，根据关键字与当前节点的比较结果，决定是向左子树还是向右子树进行查找。
• 查找算法：递归与非递归两种方式。
• 
• 递归算法：
• 示例：

4.二叉排序树的删除

• 删除情况：

  1. 删除叶子结点：直接删除并置空父结点的相应指针。

  2. 删除单分支结点：删除结点，将非空子树连接到父结点。

  3. 删除双分支结点：用中序前驱或中序后继结点代替被删结点，然后删除该结点。

  4. 

5.二叉排序树的优点

• （1）在二叉排序树中插入新结点时，新结点总是以叶子结点的形式被添加到树中。
• （2）新结点的插入对已有结点的位置与树的原有形态没有影响。
• （3）如果把二叉排序树看成一个有序序列，即相当于在一个有序序列中插入新元素，不会影响已有元素。
• （4）对比：在进行折半查找的有序序列中，插入新元素会导致插入位置之后的所有元素向后移动。

小结

• 创建二叉排序树的方法。
• 查找结点的方法。
• 二叉排序树中进行查找的优点。