Aquila优化算法（基本原理+matlab源代码）—— 基于Aquila Optimizer原始论文分析

Matlab源代码位于： Aquila Optimizer: A meta-heuristic optimization
algorithm - File Exchange - MATLAB Central
(mathworks.cn)

1 Aquila优化算法

AO是一种基于种群优化方法，受启发于Aquila捕获猎物的方式。Aquila捕获猎物的方式主要有四种：（1）有垂直弯曲的高空翱翔（2）用短滑翔攻击的轮廓飞行（3）带缓慢下降的低空飞行（4）走和抓取猎物

对以上四种方法进行建模：

1.1 解决方案的初始化

在给定问题的上界（UB）和下界（LB）使用公式2

随机生成候选集（X，如公式1所示），获得的最优解被认为是在每次迭代过程中的近似优化解。

在公式2中，候选集(Xij)=随机数(rand)*（给定问题的第j个上界(UBj)-给定问题的第j个下界(LBj)）+给定问题的第j个下界(LBj) ，N表示候选集的总数量，Dim表示问题维度的大小。

1.2 AO的数学模型

1.2.1 扩展探索(X1)

扩展搜索的行为示意图如图1所示。被建模为公式3：

在公式3中，第t次迭代的下一次迭代解(X1(t+1)) = 总共的第t次迭代中最好的解(Xbest(t)) × 通过迭代次数去控制探索范围的等式(1-t/T) + 第t次迭代中所有解的均值(Xm(t))（如公式4所示）- 总共的第t次迭代中最好的解(Xbest(t)) × 位于0和1的随机值(rand) ，t代表现在的迭代次数，T代表总共的迭代次数。

1.2.2 缩小探索范围(X2)

缩小探索范围的行为示意图如图2所示。被建模为公式5：

在公式5中，第t次迭代的下一次迭代解(X2(t+1)) = 总共的第t次迭代中最好的解 (Xbest(t)) × 征费飞行分布函数(Levy(D))（如公式6所示）+ 第i次迭代时在[1 N]范围内取的随机解(XR(t))+（搜索中的螺旋形(y)-搜索中的螺旋形(x)）×位于0和1的随机值(rand)，x和y如公式8、9所示，图3展示了螺旋计算的示意图：

在公式6中，征费飞行分布函数(Levy(D)) = 固定值0.01(s) ×（位于0和1之间的随机数(rand)× σ （如公式7所示））/ | 位于0和1之间的随机数(v)|的1/β次方，其中β是固定值1.5。

其中

在公式10中，r = 位于1至20的固定搜索周期(r1)+ 0.00565(U) × 从1到搜索空间的长度(Dim) 的整数(D1)，在公式11中， ω代表0.05。

1.2.3 扩展开发(X3)

扩展开发的行为示意图如图4所示。被建模为公式13：

在公式13中，第t次迭代的下一次迭代解 (X3(t+1)) =（总共的第t次迭代中最好的解 (Xbest(t)) - 第t次迭代中所有解的均值(Xm(t))）× 较小的开采调整参数0.01(ɑ) - 位于0到1的随机数(rand) +（（给定问题的上界(UB) -给定问题的下界(LB)）× 位于0到1的随机数(rand) + 给定问题的下界(LB)） × 较小的开采调整参数0.01(ʠ)。

1.2.4 缩小开发范围(X4)

缩小开发范围的行为示意图如图5所示。被建模为公式14：

在公式14中， 第t次迭代的下一次迭代解 (X4(t+1)) = 用于平衡搜索策略的质量函数(QF)（如公式15所示）× 总共的第t次迭代中最好的解 (Xbest(t)) - 在奔跑过程中用来追踪猎物的各种AO运动(G1)（如公式16所示）× 第t次迭代解(X(t)) × 0到1的随机数(rand) - 表示AO在从第一个位置(1)到最后一个位置(t)的私奔过程中用于跟踪猎物的飞行斜率(G2)（如公式17所示）× 征费飞行分布函数(Levy(D))（如公式6所示）+ 0到1的随机数(rand) × 在奔跑过程中用来追踪猎物的各种AO运动(G1)（如公式16所示）：

2 matlab代码（部分）

% AO函数
% input：N群体数目，T迭代次数，LB问题最低下限，UB问题最高下限，Dim问题维度，F_obj目标函数的句柄，用于评估解的质量
% output：Best_FF AO算法获得的最佳解，Best_P AO算法找到目标函数的最优值
function [Best_FF,Best_P,conv]=AO(N,T,LB,UB,Dim,F_obj)
Best_P=zeros(1,Dim);
Best_FF=inf; % inf无穷大，全局最优解

% 解决方案的初始化
X=initialization(N,Dim,UB,LB);
Xnew=X;
Ffun=zeros(1,size(X,1));        % 1*N，存储每个解的目标函数值（最优）
Ffun_new=zeros(1,size(Xnew,1)); % 1*N，存储每个解的目标函数值（当前）

t=1;


alpha=0.1;
delta=0.1;

while t<T+1
    % 循环处理每个解
    for i=1:size(X,1)
        % 判断是否超过上界或者下界
        F_UB=X(i,:)>UB;
        F_LB=X(i,:)<LB;
        % 修正超过边界的解，超过上界的设为UB，超过下界的设为LB
        X(i,:)=(X(i,:).*(~(F_UB+F_LB)))+UB.*F_UB+LB.*F_LB;
        % 计算修正解的目标函数值，用于评估解的质量
        Ffun(1,i)=F_obj(X(i,:));
         % 更新最优解和最优目标函数值
        if Ffun(1,i)<Best_FF
            Best_FF=Ffun(1,i);
            Best_P=X(i,:);
        end
    end
    
    
    G2=2*rand()-1; % Eq. (16)在奔跑过程中用来追踪猎物的各种AO运动
    G1=2*(1-(t/T));  % Eq. (17)表示AO在从第一个位置(1)到最后一个位置(t)的私奔过程中用于跟踪猎物的飞行斜率(G2)
    to = 1:Dim;
    u = .0265;
    r0 = 10;
    r = r0 +u*to;  % Eq. (10)
    omega = .005;  
    phi0 = 3*pi/2;
    phi = -omega*to+phi0;  % Eq. (11)
    x = r .* sin(phi);  % Eq. (9)
    y = r .* cos(phi); % Eq. (10)
    QF=t^((2*rand()-1)/(1-T)^2); % Eq. (15)
        % AO begin-------------------------------------------------------------------------------------
    for i=1:size(X,1)
        % 扩展探索(X1) -------------------------------------------------------------------------------------
        if t<=(2/3)*T
            if rand <0.5
                Xnew(i,:)=Best_P(1,:)*(1-t/T)+(mean(X(i,:))-Best_P(1,:))*rand(); % Eq. (3) and Eq. (4)
                Ffun_new(1,i)=F_obj(Xnew(i,:));
                if Ffun_new(1,i)<Ffun(1,i)
                    X(i,:)=Xnew(i,:);
                    Ffun(1,i)=Ffun_new(1,i);
                end
            else
                % 缩小探索范围(X2) -------------------------------------------------------------------------------------
                Xnew(i,:)=Best_P(1,:).*Levy(Dim)+X((floor(N*rand()+1)),:)+(y-x)*rand;       % Eq. (5)
                Ffun_new(1,i)=F_obj(Xnew(i,:));
                if Ffun_new(1,i)<Ffun(1,i)
                    X(i,:)=Xnew(i,:);
                    Ffun(1,i)=Ffun_new(1,i);
                end
            end
            % 扩展开发(X3) -------------------------------------------------------------------------------------
        else
            if rand<0.5
                Xnew(i,:)=(Best_P(1,:)-mean(X))*alpha-rand+((UB-LB)*rand+LB)*delta;   % Eq. (13)
                Ffun_new(1,i)=F_obj(Xnew(i,:));
                if Ffun_new(1,i)<Ffun(1,i)
                    X(i,:)=Xnew(i,:);
                    Ffun(1,i)=Ffun_new(1,i);
                end
            else
                % 缩小开发范围(X4) -------------------------------------------------------------------------------------
                Xnew(i,:)=QF*Best_P(1,:)-(G2*X(i,:)*rand)-G1.*Levy(Dim)+rand*G2; % Eq. (14)
                Ffun_new(1,i)=F_obj(Xnew(i,:));
                if Ffun_new(1,i)<Ffun(1,i)
                    X(i,:)=Xnew(i,:);
                    Ffun(1,i)=Ffun_new(1,i);
                end
            end
        end
    end
    % AO end-------------------------------------------------------------------------------------
    % 判断是否达到迭代次数100，如果达到则展示结果
    if mod(t,100)==0
        display(['At iteration ', num2str(t), ' the best solution fitness is ', num2str(Best_FF)]);
    end
    conv(t)=Best_FF;  % 每一轮迭代的最优值
    t=t+1;
end

end

function o=Levy(d)
beta=1.5;
sigma=(gamma(1+beta)*sin(pi*beta/2)/(gamma((1+beta)/2)*beta*2^((beta-1)/2)))^(1/beta);
u=randn(1,d)*sigma;v=randn(1,d);step=u./abs(v).^(1/beta);
o=step;
end

运行结果：

参考： https://doi.org/10.1016/j.cie.2021.107250