基数排序算法Python实现

1. 基数排序原理和步骤

基数排序是一种非比较型的排序算法，特别适用于处理整数或者字符串等可以分解为多个部分的数据。其基本思想是按位（或字符）进行排序，从最低有效位到最高有效位逐次排序。基数排序常分为LSD（Least Significant Digit）和MSD（Most Significant Digit）两种类型。以下是基数排序的详细步骤，以LSD为例：

1.1 确定最大值的位数

首先，确定待排序数组中最大元素的位数（或字符串的长度）。这个步骤决定了排序需要进行的轮次数。

1.2 从最低有效位开始排序

从最低有效位开始，对数组进行排序。排序可以使用稳定的计数排序或桶排序，以确保排序过程是稳定的，即相同位数的元素保持相对顺序不变。

1.3 逐位排序

依次对每一位进行排序，直到最高有效位。每次排序都根据当前位的值，将元素放到相应的位置上。

1.4 重复以上步骤，直到所有位数排序完成

对所有位数依次排序后，整个数组即为有序。

基数排序的完整步骤

1. 确定最大值的位数： 确定数组中最大元素的位数。
2. 逐位排序： 从最低有效位开始，依次对每一位进行排序。
3. 完成排序： 当所有位数排序完成，数组有序。

2. 基数排序的伪代码

void radixSort(vector<int>& arr) {
    // 找到数组中的最大数，确定最大位数
    int maxVal = *max_element(arr.begin(), arr.end());
    int maxDigits = log10(maxVal) + 1;

    // 逐位进行计数排序，从最低有效位开始
    for (int exp = 1; maxVal / exp > 0; exp *= 10) {
        countingSort(arr, exp);
    }
}

void countingSort(vector<int>& arr, int exp) {
    int n = arr.size();
    vector<int> output(n); // 输出数组
    vector<int> count(10, 0); // 计数数组

    // 计算每个数字出现的次数
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int index = (arr[i] / exp) % 10;
        count[index]++;
    }

    // 修改计数数组，使其存储实际位置
    for (int i = 1; i < 10; i++) {
        count[i] += count[i - 1];
    }

    // 构建输出数组
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int index = (arr[i] / exp) % 10;
        output[count[index] - 1] = arr[i];
        count[index]--;
    }

    // 将输出数组复制到 arr，使其按当前位排序
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        arr[i] = output[i];
    }
}

3. 基数排序的Python实现

Python代码实现

def counting_sort(arr, exp):
    n = len(arr)
    output = [0] * n
    count = [0] * 10

    # 计算每个数字出现的次数
    for i in range(n):
        index = arr[i] // exp
        count[index % 10] += 1

    # 修改计数数组，使其存储实际位置
    for i in range(1, 10):
        count[i] += count[i - 1]

    # 构建输出数组
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        index = arr[i] // exp
        output[count[index % 10] - 1] = arr[i]
        count[index % 10] -= 1

    # 将输出数组复制到 arr，使其按当前位排序
    for i in range(n):
        arr[i] = output[i]

def radix_sort(arr):
    # 找到数组中的最大数，确定最大位数
    max_val = max(arr)
    exp = 1

    # 逐位进行计数排序，从最低有效位开始
    while max_val // exp > 0:
        counting_sort(arr, exp)
        exp *= 10

示例

arr = [170, 45, 75, 90, 802, 24, 2, 66]
print(“原始数组:”, arr)
radix_sort(arr)
print(“排序后数组:”, arr)

4. 算法时间复杂度分析

（1）计数排序的时间复杂度： 计数排序的时间复杂度为 O(n + k)，其中 n 是数组中元素的个数，k 是计数数组的大小。在基数排序中，k 是常数（对于十进制数来说，k = 10），因此计数排序的时间复杂度为 O(n)。

（2）基数排序的时间复杂度： 基数排序需要进行 d 次计数排序，其中 d 是最大数的位数。在每次计数排序中，时间复杂度为 O(n)，因此总的时间复杂度为 O(d * n)。

（3）总体时间复杂度： 基数排序的总体时间复杂度为 O(d * n)，其中 d 是最大数的位数，n 是数组中元素的个数。