动态规划理论基础
动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。
所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的，
动态规划做题步骤
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
动态规划做题debug
- 找问题的最好方式就是把dp数组打印出来
- 做动规的题目，写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的结果
斐波那契数
本题为动态规划入门题，根据题目进行模拟即可
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
2.确定递推公式
为什么这是一道非常简单的入门题目呢？
因为题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
3.dp数组如何初始化
题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：
arr[0]=0;
arr[1]=1;
4.确定遍历顺序
从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
class Solution {
public int fib(int n) {
if (n <= 1) {
return n;
}
int[] arr = new int[2];
arr[0] = 0;
arr[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
int sum = arr[0] + arr[1];
arr[0] = arr[1];
arr[1] = sum;
}
return arr[1];
}
}爬楼梯
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
到达第i 层有dp[i]种方法
2.确定递推公式
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
3.dp数组如何初始化
dp[1]=1;
dp[2]=1;
4.确定遍历顺序
从前向后遍历
代码：
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
if(n<=2){
return n;
}
int[] arr = new int[2];
arr[0] = 1;
arr[1] = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int sum = arr[0] + arr[1];
arr[0] = arr[1];
arr[1] = sum;
}
return arr[1];
}
}
使用最小花费爬楼梯
1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。
2.确定递推公式
dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。
那么dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
3.dp数组初始化
由题目可以知道你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。所以从0或1开始不需要花钱
dp[0]=0;dp[1]=0;
4.遍历顺序
从前向后
class Solution {
public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
int[] dp = new int[cost.length + 1];
dp[0] = 0;
dp[1] = 0;
for (int i = 2; i <= cost.length; i++) {
dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
}
return dp[cost.length];
}
}