Python统计实战：一题巩固单因子方差分析

为了解决特定问题而进行的学习是提高效率的最佳途径。这种方法能够使我们专注于最相关的知识和技能，从而更快地掌握解决问题所需的能力。

（以下练习题来源于《统计学—基于Python》。联系获取完整数据和Python源代码文件。）

练习题

一家管理咨询公司为不同的客户提供人力资源管理讲座。每次讲座的内容基本上一样，听课者有时是高层管理者，有时是中层管理者，有时是基层管理者。该咨询公司认为，不同层级的管理者对讲座的满意度是不同的。听完讲座后，随机抽取不同层级的管理者，他们的满意度评分如下（评分标准是1～10，10代表非常满意）：

（1）检验管理者的层级不同是否会导致评分有显著差异（α=0.05），并分析效应量。

（2）采用HSD方法比较管理者的评分之间的差异。

（3）检验满意度评分是否满足正态性和方差齐性。

分析与结果

（1）这道题考查的是单因子方差分析，该因子为管理者层级，分为了三个层级，即高层、中层和基层。

首先要检验管理者的层级不同是否会导致评分有显著差异（α=0.05），我们需要进行方差分析并将计算得到的p值与0.05作比较。如果p值小于0.05，我们则可以做出判断，管理者的层级不同会导致评分有显著差异。注意需要先对数据进行融合。

方差分析的结果显示，如下图所示，p值=0.000633，远小于0.05，因此可以断定，管理者的层级不同会导致评分有显著差异。

效应量可根据R-sqaured得到。如下图所示，效应量为0.625，即在评分取值的总误差中被管理者层级解释的比例为62.5%

Python代码

import pandas as pd

exercise9_2 = pd.read_csv('exercise9_2.csv')
# exercise9_2.head()
exercise9_2_1 = pd.melt(exercise9_2, value_vars = ['高层管理者', '中层管理者', '基层管理者'], var_name = '层级', value_name = '评分') # 融合数据
# exercise9_2_1.head() # 查看融合后的数据

# 进行单因子方差分析
from statsmodels.formula.api import ols
from statsmodels.stats.anova import anova_lm
model1 = ols(formula = '评分 ~ 层级', data = exercise9_2_1).fit()  # 拟合方差分析模型
anova_lm(model1, typ =1)

Python代码

print(model1.summary())

（2）采用HSD方法进行多重比较，找出哪两个层级的评分之间有显著差异。如下图所示，中层管理者与基层管理者、基层管理者与高层管理者的评分差异显著，而中层管理者与高层管理者的评分差异不显著。

Python代码

from statsmodels.stats.multicomp import MultiComparison

mc = MultiComparison(exercise9_2_1['评分'], exercise9_2_1['层级'])
print(mc.tukeyhsd(alpha = 0.05))

（3）接下来，我们绘制Q-Q图、直方图和核密度曲线来检验正态性。正态Q-Q图显示，评分近似服从正态分布；直方图与核密度图显示，评分接近对称分布。

Python代码

# 正态性检验：3个管理者层级的评分数据合并后的正态Q-Q图、直方图和核密度曲线
import pandas as pd
from matplotlib import pyplot as plt
import statsmodels.api as sm
import seaborn as sns
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Songti SC'] # 设置中文字体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False     # 正常显示负号

# 绘制Q-Q图，采用的数据是 exercise9_2_1
plt.subplots(1, 2, figsize = (8, 3.5))
ax1 = plt.subplot(121)
pplot = sm.ProbPlot(exercise9_2_1['评分'], fit = True)
pplot.qqplot(line = 'r', ax = ax1, xlabel = '期望正态值', ylabel = '标准化的观测值')
ax1.set_title('评分的正态Q-Q图', fontsize = 12)

# 绘制直方图和核密度图
plt.subplot(122)
sns.histplot(exercise9_2_1['评分'], kde = True, bins = 6, stat = 'frequency')
plt.title('评分的直方图和核密度图')

plt.tight_layout()

最后，根据Levene检验法检验样本数据的方差齐性。计算结果为统计量F = 1.36364, p值 = 0.28567。由于p值大于0.05，可以认为各个管理者层级的评分满足方差齐性。残差图也反映出样本数据的方差齐性。

Python代码

# 用Levene检验法检验样本数据的方差齐性
import pandas as pd
from scipy.stats import levene
exercise9_2 = pd.read_csv('exercise9_2.csv')

sample1 = exercise9_2['高层管理者']
sample2 = exercise9_2['中层管理者']
sample3 = exercise9_2['基层管理者']

F, p_value = levene(sample1, sample2, sample3)
print(f"统计量F = {F:.5f}, p值 = {p_value:.5g}")

# 用残差图检验方差齐性
import pandas as pd
from statsmodels.formula.api import ols
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Songti SC'] # 设置中文字体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False     # 正常显示负号

model1 = ols(formula = '评分 ~ 层级', data = exercise9_2_1).fit()  # 拟合单因子模型

# 绘制单因子方差分析的残差图
plt.scatter(model1.fittedvalues, model1.resid, marker = '*')
plt.xlabel('拟合值')
plt.ylabel('残差')
plt.title('残差图', fontsize = 13)
plt.axhline(0, ls = '--', color = 'red')

plt.tight_layout()

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