本篇文章主要回顾一下几年前学的JPS跳点搜索规划算法的相关内容，之前学的时候没有进行概括总结，现在补上
一、A*算法简单回顾
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1、基本介绍和原理
A*（A-Star)算法是一种静态路网中求解最短路径最有效的直接搜索方法，也是解决许多搜索问题的有效算法。
其代价函数表示为： f(n)=g(n)+h(n),其中 f(n) 是从初始状态经由状态n到目标状态的代价估计，g(n) 是在状态空间中从初始状态到状态n的实际代价，h(n) 是从状态n到目标状态的最佳路径的估计代价。（对于路径搜索问题，状态就是图中的节点，代价就是距离）
h(n)的选取：保证找到最短路径（最优解的）条件，关键在于估价函数f(n)的选取（或者说h(n)的选取）。我们以d(n)表达状态n到目标状态的距离，那么h(n)的选取大致有如下三种情况：
（1）如果h(n)< d(n)到目标状态的实际距离，这种情况下，搜索的点数多，搜索范围大，效率低。但能得到最优解。
（2）如果h(n)=d(n)，即距离估计h(n)等于最短距离，那么搜索将严格沿着最短路径进行， 此时的搜索效率是最高的。
（3）如果 h(n)>d(n)，搜索的点数少，搜索范围小，效率高，但不能保证得到最优解。
在一个极端情况下，如果h(n)为0，则只g(n)起作用，A*变成Dijkstra算法，保证找到最短路径。
在另一个极端，如果h(n)相对于 非常高g(n)，则仅h(n)起作用，并且 A* 变成贪婪的最佳优先搜索。
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2、算法流程
① 将初始节点放入到open列表中。
②检查当前open列表。如果为空，则搜索失败，停止循环。如果open列表中存在目标节点，则搜索成功，停止循环。不属于以上两种情况，则继续循环。
③从open列表中取出F值最小的节点作为当前节点，并将其加入到close列表中。
④ 计算当前节点的相邻的所有可到达节点，生成一组子节点。对于每一个子节点：
如果该节点在close列表中，则丢弃它
如果该节点在open列表中，则检查其通过当前节点计算得到的F值是否更小，如果更小则更新其F值，并将其父节点设置为当前节点。
如果该节点不在open列表中，则将其加入到open列表，并计算F值，设置其父节点为当前节点。
⑤ 本轮扩展结束， 转到第②步，循环进行下一轮扩展。
3、A*算法的详细介绍
二、JPS算法简介
JPS（Jump Point Search）跳点搜索是一种高效的路径规划算法，用于在网格地图上找到两点之间的最短路径。它是A*算法的一种改进，通过利用地图的拓扑结构，在搜索过程中跳过某些不必要的节点，从而减少搜索的时间和空间复杂度。
1. 基本思想
JPS利用了网格地图的拓扑结构，通过计算出地图中节点的“跳跃点”（jump points），以及与这些跳跃点相邻的“强制邻居”（forced neighbors）。在搜索过程中，JPS会按照预先确定的跳跃点和强制邻居的规则，跳跃式地搜索直到找到目标点或者无法继续跳跃。
2. 搜索过程
JPS搜索过程类似于A*算法，但是在搜索的过程中会跳跃式地前进，而不是逐个节点地扩展。在每个节点处，JPS会检查并记录可到达的跳跃点和强制邻居，然后根据这些信息继续搜索。如果发现了目标点，或者无法再进行跳跃，则搜索结束。
3. 优点
JPS通过跳跃式搜索，减少了搜索空间和搜索时间，尤其在大规模地图上效果显著。由于JPS只考虑特定的跳跃点和强制邻居，因此避免了对不必要的节点进行扩展，提高了搜索效率。
4. 缺点
JPS算法对于非网格地图（如连续空间）并不适用，因为它依赖于网格地图的拓扑结构。
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三、JPS算法的扩展策略（核心）
JPS算法与A*算法的最大不同在于其更加高效的扩展策略，具体分为横向和纵向扩展、对角扩展两种情况。
首先来介绍，相对简单的横向和纵向扩展情况。
1、横向和纵向扩展策略
横向扩展和纵向扩展策略是相同的，这里以横向扩展为例进行介绍，假设从下面左图中的绿色栅格水平向右进行搜索，对于其邻居可以做以下分析和假设。首先，我们可以忽略其左边的邻居栅格，如下面右图中的灰色栅格所示，因为，按照水平向右到的搜索方向，在访问当前绿色节点之前，该灰色节点已经被访问过了，因此，忽略它。
其次，我们同样可以忽略下面两幅图中的标号为②~⑤的邻居栅格，因为通过之前访问过的栅格①，到达栅格②和③的成本为栅格①的现有成本+1 （假设栅格边长为1），而如果通过当前的绿色栅格到达栅格②和③的成本为栅格①的现有成本+1 + 根号2，显然成本高于由栅格①直接到达栅格②和③的成本。所以可以直接忽略邻居节点②和③，同理，对于栅格④和⑤，由栅格①到达的成本为栅格①的现有成本+根号2，而由绿色栅格到达的成本为栅格①的现有成本+2，所以邻居栅格④和⑤同样可以忽略。
即下图中的邻居栅格 ② ~ ⑤，由之前已经访问过的栅格①扩展，比由当前的绿色栅格扩展成本更低，所以在进行绿色栅格扩展时，完全可以忽略对这些邻居节点的扩展。
然后，对于邻居栅格⑥和⑦，通过之前访问过的栅格①途径绿色栅格到达或途径灰色栅格到达的成本是一样的，比如对于栅格⑥，①→④→⑥和①→绿色栅格→⑥的成本都是栅格①的现有成本+1+根号2，所以为了简单起见，我们同样假设可以不通过绿色栅格到达，因此栅格⑥和⑦也可以忽略。
至此，绿色栅格的邻居栅格就只剩下了其右侧的栅格⑧，如下面中间的图所示，也就是说，在没有障碍物的情况下，JPS的横向和纵向扩展仅需要考虑其扩展方向上的下一个栅格即可，而无需考虑其他相邻点，对于这里介绍的例子，即可以不断的向右搜索下去，如下面的右图所示。
那么什么情况下需要停止呢？ 添加到open列表中的待选扩展点又应该如何选？
若在不断的向右搜索下去的过程中，当前栅格的上方或者下方存在障碍物时，就必须要停止下来了，如下面的左图所示，因为，此时由于绿色栅格上方的邻居点为障碍物，此时，紫色的栅格无法再通过前面介绍的①→④→⑥路径到达，只能通过①→绿色栅格→⑥的方式到达，此时紫色栅格就不能被忽略，其被称为强制邻居，因此，我们必须停止一味的向右探索的形式，终止探索，并将当前的绿色栅格作为新的待选扩展点，添加到open列表中，并将紫色的栅格添加到绿色栅格的强制邻居列表中。
也就是说，当我们沿着横向或者纵向探索到达具有强制邻居的栅格时，我们停止跳跃（本例中即为停止向右跳跃），并将当前栅格添加到开放集open中以供稍后进一步检查和扩展。
除了上面介绍的遇到具有强制邻居的栅格之外，如果我们向右跳跃时道路被挡住，即遇到了障碍物或者到达了地图边界，如上面的右图所示，我们可以放心地停止和忽略整个跳跃。因为，我们已经假设上方和下方的路径是通过其他栅格处理的，若没有遇到具有强制邻近的栅格，且朝右侧探索到了地图边界或者被障碍物挡住了，即没有必要朝和这个方向进行探索尝试了，直接忽略整个跳跃，也就是不需要向open列表中添加任何新的待扩展点。
2、对角扩展策略
与横向扩展和纵向扩展类似，对于当前栅格，即下图中的绿色栅格，其邻居栅格①是之前访问过的栅格，可以直接忽略，由①不经过绿色栅格到达②~⑤的成本低于经过绿色栅格的情况，因此邻居栅格②到⑤也可以被忽略。
与横向扩展和纵向扩展不同的是，尽管经过和不经过绿色栅格到达⑥或⑦的成本是相同的，在对角扩展中并不会忽略通过绿色栅格到达的情况，也就是说对角扩展中需要考虑三个方向的邻居栅格，本例中即为⑥到⑧，如下面的左图所示，与横向或者纵向扩展类似，当邻居栅格②或③处存在障碍物时，此时无法再通过②或③到达④或⑤，因此不能被忽略，此时对应的④或⑤成为强制邻居，如下面右图中的紫色栅格所示。
对角扩展中存在三个扩展方向，那么以什么形式进行扩展（跳跃）呢？
对角扩展的形式为，对于横向和纵向运动的⑥和⑦直接按照上面介绍的独立横向和纵向扩展策略进行扩展。对于对角方向的扩展，采用沿着对角方向移动一步后，在新位置⑧处调用横向和纵向扩展的策略进行扩展，如果这两个方向上都没有找到可以新加入到open列表中的带扩展点，则继续沿着当前对角方向，再移动一步，在新位置处继续调用横向和纵向扩展的策略进行扩展… ，直至在对角方向遇到障碍物或者到达边界，返回，并忽略该方向的扩展。或者在调用横向或纵向扩展过程中遇到了具有强制邻居的节点，则将此时调用横向或纵向节点的位置处作为新的扩展点，加入到open列表中，并停止对角方向的扩展。
下面看一个具体示例，在当前栅格处（即下图中的绿色栅格）进行对角扩展，如下面的图一所示，在独立的横向扩展中出现了右侧栅格为障碍物的情况，也没有发现具有强制邻居的点，直接忽略，同样在独立的纵向扩展中到达了地图边界也没有具有强制邻居的点，直接忽略。对于对角方向的扩展，沿着对角方向移动一步，到达①处，然后在①处调用横向和纵向扩展，如图二所示，没有具有价值的点，继续沿着对角方向走一步，到达②处，然后继续在②处进行横向和纵向扩展，如图三所示，同样没有具有价值的点，继续沿着对角方向走一步，到达③处。
在③处进行横向扩展时，发现了具有强制邻居的点④，如图四所示，此时对角扩展结束，将栅格③作为新发现的带扩展点添加到open列表中，注意添加的是③而不是④，如图五所示。此时就可以进行按照与A*算法类似的流程进行下一轮迭代了。
这里有一点要强调，这里说的对角扩展策略其实包含横向、纵向、和对角扩展三个方向的，当然对角扩展里面又调用了横向和纵向扩展。这三个方向扩展的停止是独立的，比如下图中的①处，其父节点为绿色栅格所示的起点，可知在进行①处节点扩展时，其扩展方向为右上的对角方向，此时需要进行横向、纵向、对角三个方向的扩展，对于横向扩展而言，没有遇到具有强制邻居的点，就在右侧出现了障碍物，停止并忽略整个横向扩展。对于纵向扩展，发现了具有强制邻居的节点②，将②加入到open列表中，并停止纵向扩展。 虽然在纵向扩展中已经找到了一个具有强制邻居的点，并加入了open中，但其发生在①处独立的横向和纵向扩展过程中，而非对角扩展调用了横向和纵向扩展，所以对于对角扩展要继续进行，直至在④处调用横向扩展时，发现了具有强制邻居的节点③，此时对角扩展才结束，并将④加入到open列表中。
总结一下什么样的点可以作为添加到open列表中，作为待拓展点，或者说跳点？
情况1：该节点为起点或终点，如上图中的绿色和红色栅格所示。
情况2：该节点存在强制邻居节点，如上图中的②。【该情况常发生于独立的横向或纵向扩展中，伴随着独立的横向或纵向扩展停止，而非对角扩展调用的横向和纵向扩展】
情况3：该节点的父节点通过对角移动到该节点，且该节点的横向或纵向上存在具有强制邻居的点，如上图中的①和④所示。【该情况常发生于对角扩展调用的横向和纵向扩展中，伴随着对角扩展停止】
四、JPS算法的流程
除了扩展策略外，JPS算法流程与A * 算法类似，如下所示：
① 将初始节点放入到open列表中。
②检查当前open列表。如果为空，则搜索失败，停止循环。如果open列表中存在目标节点，则搜索成功，停止循环。不属于以上两种情况，则继续循环。
③从open列表中取出F值最小的节点作为当前节点，并将其加入到close列表中。
④ 根据当前节点的父节点，确定由其父节点到当前节点的运动方向，来确定采用横向和纵向扩展策略还是采用对角扩展策略，进行当前点的扩展，此外，如果当前节点的强制邻居列表不为空，即当前节点存在强制邻居节点，强制邻居节点所在方向也需要进行扩展。特别的，对于起点没有父节点，需要对八个方向都进行探索。
当然，对于上述过程中得到准备放入open列表中的待扩展点，跟A * 算法类似，同样对其进行检查：
如果该节点在close列表中，则丢弃它
如果该节点在open列表中，则检查其通过当前节点计算得到的F值是否更小，如果更小则更新其F值，并将其父节点设置为当前节点。
如果该节点不在open列表中，则将其加入到open列表，并计算F值，设置其父节点为当前节点。
⑤ 本轮扩展结束， 转到第②步，循环进行下一轮扩展。
一个执行示例如下所示：
得到的可行路径如下：
具体的详细的按步讲解的示例可见参考资料2所列的博客所示
五、在线交互式可视化资源
1、https://qiao.github.io/PathFinding.js/visual/
2、https://zerowidth.com/2013/a-visual-explanation-of-jump-point-search/
参考资料
1、A Visual Explanation of Jump Point Search
