最短路径问题的经典解法-dijsktra算法
问题描述：求从一个顶点到另一个顶点的最短路径
【算法设计思想】
Dijkstra算法的设计思想基于以下关键概念和步骤，旨在找出图中从一个给定的源顶点到其他所有顶点的最短路径。这个算法适用于有向和无向图，只要图的边权重为非负值。
1. 初始化
- 设
dist[]为一个数组，dist[i]表示从源顶点到顶点i的最短路径估计。初始时，对所有i，dist[i]设为无穷大，除了源顶点自身，其值设为0。 - 设
SPTSet[]（最短路径树集合）为一个集合，用于记录已经被处理并且其最短路径已经被找到的顶点。最开始，这个集合为空。
2. 选择最小距离顶点
- 在未处理的顶点集合中选择一个距离最小的顶点
u，即dist[u]是最小的，并且u不在SPTSet中。最开始，这将会是源顶点。
3. 更新距离值
- 对于顶点
u的每个邻接顶点v，如果v不在SPTSet中，并且通过u到v的路径长度小于当前记录的dist[v]的值，则更新dist[v]。更新规则是：dist[v] = dist[u] + weight(u, v)，其中weight(u, v)是从u到v的边的权重。
4. 标记为已处理
- 将顶点
u添加到SPTSet中，表示u的最短路径已经被找到。
5. 重复步骤
- 重复步骤2至4，直到所有顶点都被处理，即
SPTSet包含所有顶点。
【算法描述】
// 寻找最短路径树集合中距离最小的顶点
int minDistance(int dist[], int sptSet[]) {
// 初始化最小值
int min = INT_MAX, min_index;
for (int v = 0; v < V; v++)
if (sptSet[v] == 0 && dist[v] <= min)
min = dist[v], min_index = v;
return min_index;
}
// 使用Dijkstra算法找到图中源点到所有顶点的最短路径
void dijkstra(int graph[V][V], int src) {
int dist[V]; // dist[i]会保存源点到i的最短路径距离
int sptSet[V]; // sptSet[i]会为真如果顶点i在最短路径树中，或者最短距离从源点到i已经确认
// 初始化所有距离为无穷大，sptSet[]为假
for (int i = 0; i < V; i++)
dist[i] = INT_MAX, sptSet[i] = 0;
// 源点到自己的距离总是0
dist[src] = 0;
// 寻找所有顶点的最短路径
for (int count = 0; count < V - 1; count++) {
// 从尚未处理的顶点集合中选取距离最小的顶点
int u = minDistance(dist, sptSet);
// 标记选取的顶点为已处理
sptSet[u] = 1;
// 更新选取顶点的邻接顶点的距离值
for (int v = 0; v < V; v++)
// 更新dist[v]只有在以下情况：未在sptSet中，存在从u到v的边，且源点到v的总距离小于当前dist[v]的值
if (!sptSet[v] && graph[u][v] && dist[u] != INT_MAX && dist[u] + graph[u][v] < dist[v])
dist[v] = dist[u] + graph[u][v];
}
// 打印构建的距离数组
printSolution(dist);
}
【完整的测试程序】
#include <stdio.h>
#include <limits.h>
// 顶点数量
#define V 9
// 寻找最短路径树集合中距离最小的顶点
int minDistance(int dist[], int sptSet[]) {
// 初始化最小值
int min = INT_MAX, min_index;
for (int v = 0; v < V; v++)
if (sptSet[v] == 0 && dist[v] <= min)
min = dist[v], min_index = v;
return min_index;
}
// 打印构建的距离数组
void printSolution(int dist[]) {
printf("顶点 \t 距离源点的距离\n");
for (int i = 0; i < V; i++)
printf("%d \t %d\n", i, dist[i]);
}
// 使用Dijkstra算法找到图中源点到所有顶点的最短路径
void dijkstra(int graph[V][V], int src) {
int dist[V]; // dist[i]会保存源点到i的最短路径距离
int sptSet[V]; // sptSet[i]会为真如果顶点i在最短路径树中，或者最短距离从源点到i已经确认
// 初始化所有距离为无穷大，sptSet[]为假
for (int i = 0; i < V; i++)
dist[i] = INT_MAX, sptSet[i] = 0;
// 源点到自己的距离总是0
dist[src] = 0;
// 寻找所有顶点的最短路径
for (int count = 0; count < V - 1; count++) {
// 从尚未处理的顶点集合中选取距离最小的顶点
int u = minDistance(dist, sptSet);
// 标记选取的顶点为已处理
sptSet[u] = 1;
// 更新选取顶点的邻接顶点的距离值
for (int v = 0; v < V; v++)
// 更新dist[v]只有在以下情况：未在sptSet中，存在从u到v的边，且源点到v的总距离小于当前dist[v]的值
if (!sptSet[v] && graph[u][v] && dist[u] != INT_MAX && dist[u] + graph[u][v] < dist[v])
dist[v] = dist[u] + graph[u][v];
}
// 打印构建的距离数组
printSolution(dist);
}
int main() {
// 例子中图的邻接矩阵表示法
int graph[V][V] = {{0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0},
{4, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 11, 0},
{0, 8, 0, 7, 0, 4, 0, 0, 2},
{0, 0, 7, 0, 9, 14, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 9, 0, 10, 0, 0, 0},
{0, 0, 4, 14, 10, 0, 2, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 6},
{8, 11, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 7},
{0, 0, 2, 0, 0, 0, 6, 7, 0}};
dijkstra(graph, 0);
return 0;
}