归并排序算法的设计与分析

问题描述：设计并分析归并排序算法

【算法设计思想】

1. 分割（Divide）:
   • 从中间分割数组，使每个子数组包含一半的元素。
   • 这通过计算中点m来完成，通常是(l + r) / 2，但为了防止大数溢出，使用l + (r - l) / 2。
2. 解决（Conquer）:
   • 递归地对两个子数组应用归并排序，直到子数组只有一个元素。
   • 单个元素被视为已排序，因为没有其他元素可以比较。
3. 合并（Merge）:
   • 合并两个已排序的子数组以产生一个新的有序数组。
   • 创建两个临时数组来存储这两个子数组的元素。
   • 对这两个临时数组进行遍历，选择较小的元素放入原数组中，直到一个临时数组被完全复制。
   • 如果有剩余的元素，将它们复制到原数组中以完成合并。

【算法描述】

// 合并两个子数组为一个有序数组
void merge(int arr[], int l, int m, int r) {
    int i, j, k;
    int n1 = m - l + 1;
    int n2 = r - m;

    // 创建临时数组
    int L[n1], R[n2];

    // 拷贝数据到临时数组L[]和R[]
    for (i = 0; i < n1; i++)
        L[i] = arr[l + i];
    for (j = 0; j < n2; j++)
        R[j] = arr[m + 1 + j];

    // 合并临时数组到原数组arr[]
    i = 0;
    j = 0;
    k = l;
    while (i < n1 && j < n2) {
        if (L[i] <= R[j]) {
            arr[k] = L[i];
            i++;
        } else {
            arr[k] = R[j];
            j++;
        }
        k++;
    }

    // 拷贝L[]的剩余元素
    while (i < n1) {
        arr[k] = L[i];
        i++;
        k++;
    }

    // 拷贝R[]的剩余元素
    while (j < n2) {
        arr[k] = R[j];
        j++;
        k++;
    }
}

// l是左索引，r是右索引的数组将要排序的一部分
void mergeSort(int arr[], int l, int r) {
    if (l < r) {
        // 与 (l+r)/2相同，但是用于避免溢出大的l和h
        int m = l + (r - l) / 2;

        // 对左右半边分别进行递归排序
        mergeSort(arr, l, m);
        mergeSort(arr, m + 1, r);

        // 合并两个半边
        merge(arr, l, m, r);
    }
}

【完整的测试程序】

#include <stdio.h>

// 合并两个子数组为一个有序数组
void merge(int arr[], int l, int m, int r) {
    int i, j, k;
    int n1 = m - l + 1;
    int n2 = r - m;

    // 创建临时数组
    int L[n1], R[n2];

    // 拷贝数据到临时数组L[]和R[]
    for (i = 0; i < n1; i++)
        L[i] = arr[l + i];
    for (j = 0; j < n2; j++)
        R[j] = arr[m + 1 + j];

    // 合并临时数组到原数组arr[]
    i = 0;
    j = 0;
    k = l;
    while (i < n1 && j < n2) {
        if (L[i] <= R[j]) {
            arr[k] = L[i];
            i++;
        } else {
            arr[k] = R[j];
            j++;
        }
        k++;
    }

    // 拷贝L[]的剩余元素
    while (i < n1) {
        arr[k] = L[i];
        i++;
        k++;
    }

    // 拷贝R[]的剩余元素
    while (j < n2) {
        arr[k] = R[j];
        j++;
        k++;
    }
}

// l是左索引，r是右索引的数组将要排序的一部分
void mergeSort(int arr[], int l, int r) {
    if (l < r) {
        // 与 (l+r)/2相同，但是用于避免溢出大的l和h
        int m = l + (r - l) / 2;

        // 对左右半边分别进行递归排序
        mergeSort(arr, l, m);
        mergeSort(arr, m + 1, r);

        // 合并两个半边
        merge(arr, l, m, r);
    }
}

/* 用于打印数组的实用函数 */
void printArray(int A[], int size) {
    for (int i = 0; i < size; i++)
        printf("%d ", A[i]);
    printf("\n");
}

/* 测试归并排序 */
int main() {
    int arr[] = {38, 27, 43, 3, 9, 82, 10};
    int arr_size = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

    printf("原始数组: \n");
    printArray(arr, arr_size);

    mergeSort(arr, 0, arr_size - 1);

    printf("\n排序后的数组: \n");
    printArray(arr, arr_size);
    return 0;
}