本文介绍几种常见的线性回归算法
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线性回归和多元线性回归
线性回归是一种统计学方法，用于建立一个或多个自变量（解释变量）与一个因变量（响应变量）之间的线性关系模型。其基本形式可以表示为：
其中，y 是因变量，(x1,x2,…,xn)是自变量，(β0,β1,…,βn)是模型参数，ϵ是误差项。
线性回归的核心目标是确定一组参数，这些参数可以使损失函数（也称为目标函数或代价函数）达到最小化。
在线性回归中，最常用的损失函数是均方误差（Mean Squared Error, MSE），它是观测值与模型预测值之差的平方的平均值。均方误差的公式如下：
线性回归模型通过调整参数 β=(β0,β1,…,βn)来最小化MSE，通常使用最小二乘法（Least Squares Method）来解决这个问题。最小二乘法寻找参数 β 的值，使得损失函数的导数等于零，从而找到损失函数的最小值。得到所有的参数β。
或者使用梯度下降法（十分常用，来求参数的值，在以后会慢慢讲）也可以得到参数的值。
多项式回归与一般的线性回归
将数据进行变换是实现多项式回归的一种方法。在多项式回归中，我们不仅仅考虑自变量 x 的一次方，还考虑平方项、立方项等等，
以及它们的组合。这样做可以帮助我们捕捉数据中的非线性关系。
更一般的，线性模型的定义是基于模型参数（系数）的线性组合，即使基函数是非线性的，只要最终模型参数保持线性，它仍然可以被认为是线性模型。
线性模型可以表示为：
其中，(β0,β1,…,βn)是模型参数，而ϕ1x,ϕ2x,…,ϕnx是可能非线性的基函数。只要参数 β 之间是线性的（即没有参数的乘积或更复杂的非线性组合），模型就保持线性。在实际操作中，用“原来的变量”线性或非线性组合出新变量（用一些编程中十分简便），然后用老变量和新变量再送去回归
基函数的选择非常灵活，可以是非线性的，如：
多项式基函数：
三角函数基函数：
指数函数基函数：
径向基函数：如高斯径向基函数
或者一些变量的交叉项：
鲁棒回归
鲁棒回归（Robust Regression）是一种特殊的回归方法，它旨在减少异常值（outliers）和噪声对回归模型的影响。在传统的线性回归中，模型试图最小化所有数据点的预测误差之和，这使得异常值对模型参数有很大的影响。鲁棒回归通过最小化一个对异常值不敏感的损失函数来解决这个问题
RANSAC是一种流行的鲁棒回归方法，特别用于拟合线性模型。RANSAC算法的基本思想是迭代地从数据集中随机选择一个小的子集，使用这个子集来拟合模型，然后使用这个模型来确定数据集中的哪些点是“内点”（即与模型一致的点），最后使用所有内点来改进模型。
RANSAC算法的步骤如下：
- 随机选择：从数据集中随机选择两个点（对于线性回归）。
- 拟合模型：使用选中的两个点拟合一条直线（或其他类型的回归模型）。
- 误差计算：计算所有数据点到拟合直线的距离（例如，垂直距离）。
- 确定内点：设定一个距离阈值，将距离小于阈值的数据点视为内点。
- 模型改进：使用所有内点重新拟合模型。
- 迭代：重复上述步骤，直到达到预定的迭代次数或找到满意的模型。
- 模型评估：评估最终模型的质量，例如，通过计算内点的数量或拟合优度。
RANSAC算法的关键优势是它对异常值具有很高的抵抗力。即使数据集中存在大量的异常值，只要存在足够的内点，RANSAC也能够拟合出一个好的模型。
除了RANSAC之外，还有其他几种鲁棒回归方法，不过相对深入了，不展开说了。
过拟合与正则化
过拟合（Overfitting）是指模型在训练数据上表现得很好，但是在新的、未见过的数据上表现差的现象。在机器学习中，我们希望模型能够从训练数据中学习到通用的模式。然而，如果模型过于复杂，它可能会学习到训练数据中的特定细节和噪声，而不是潜在的数据分布，从而导致过拟合。
正则化是一种用于防止模型过拟合的技术，它通过在损失函数中添加一个惩罚项来限制模型参数的大小。这有助于提高模型的泛化能力。
Lasso回归
Lasso回归是一种带有L1正则化的线性回归。它通过在损失函数中添加一个正则化项来限制模型的复杂度，这个正则化项是模型系数的绝对值之和。Lasso回归的目标函数可以表示为：
或：
这里， λ是正则化参数，控制了正则化项的强度。当 λ增加时，一些系数 βj可能会被压缩到0，从而实现特征选择。
Ridge回归
Ridge回归是一种带有L2正则化的线性回归。与Lasso回归不同，Ridge回归的目标是最小化系数的平方和，而不是它们的绝对值之和。Ridge回归的目标函数可以表示为：
或：
同样，λ是正则化参数，控制了正则化项的强度。Ridge回归倾向于使所有系数都接近于0，但不会完全为0，这有助于减少模型的复杂度，同时保留所有特征。
下面是普通多项式回归和使用ridge的一个对比
