跟着ChatGPT学算法-完全背包问题

一、题目

给定 n 个物品，第 i 个物品的重量为 wgt[i-1]、价值为 val[i-1] ，和一个容量为 cap 的背包。每个物品可以重复选取，问在限定背包容量下能放入物品的最大价值。

二、和ChatGPT聊聊

您

您是一位资深算法工程师，请深入浅出地给出完全背包问题的分析过程和完整带注释的Java代码实现

GPT-4-Turbo

 完全背包问题是动态规划中的一个经典问题，与0-1背包问题相似，但在完全背包问题中，每种物品可以被无限次选取。这个问题的目标是在不超过背包容量的前提下，最大化背包中物品的总价值  

分析过程

1. 定义状态：定义 dp[i][c] 为考虑前 i 个物品，当背包容量为 c 时能达到的最大价值。

2. 状态转移方程：dp[i][c] = max(dp[i-1][c], dp[i][c-wgt[i-1]] + val[i-1])

   • 如果不选当前物品 i，则 dp[i][c] = dp[i-1][c]，直接继承前一个状态的值。
   • 如果选当前物品 i，则 dp[i][c] = dp[i][c-wgt[i]] + val[i]，表示在当前背包容量减去物品 i 的重量后的最大价值基础上加上物品 i 的价值。由于物品可以被无限次选取，我们仍然在考虑物品 i。

3. 初始化：dp[0][...] = 0，表示当没有物品可选时，任何容量的背包的最大价值都是0。

4. 目标：dp[n][cap]，表示考虑所有 n 个物品，当背包容量为 cap 时能达到的最大价值。

您

那为什么转移方程不是 dp[i][c] = max(dp[i-1][c], max(dp[i-1][c-wgt[i-1]] + val[i-1],dp[i][c-wgt[i-1]] + val[i-1]))

GPT-4-Turbo

您提出的状态转移方程： [dp[i][c] = max(dp[i-1][c], max(dp[i-1][c-wgt[i-1]] + val[i-1], dp[i][c-wgt[i-1]] + val[i-1]))]

实际上包含了冗余的比较。这是因为，当我们在解决完全背包问题时，对于每个物品，我们有两个选择：不选这个物品，或者选这个物品。如果选择不选这个物品，我们就直接继承了前一个状态的值，即 dp[i-1][c]。如果选择选这个物品，我们需要考虑的是在当前物品可以被无限选取的情况下，选择这个物品后的最优解，即 dp[i][c-wgt[i-1]] + val[i-1]。

在这里，dp[i][c-wgt[i-1]] + val[i-1] 已经隐含了 dp[i-1][c-wgt[i-1]] + val[i-1] 的情况。这是因为 dp[i][c-wgt[i-1]] 已经考虑了所有包括第 i 个物品在内的选择，这自然包括了从不选择第 i 个物品到选择多次第 i 个物品的所有情况。因此，dp[i][c-wgt[i-1]] + val[i-1] 实际上已经覆盖了 dp[i-1][c-wgt[i-1]] + val[i-1] 的情况，使得后者成为前者的一个子情况。

因此，原始的状态转移方程： [dp[i][c] = \max(dp[i-1][c], dp[i][c-wgt[i-1]] + val[i-1])]

已经足够覆盖所有情况，无需再进行冗余的比较。这个方程简洁地表达了完全背包问题的核心思想：对于每个物品，我们可以选择不选它，或者在选它的情况下，考虑包括它自身在内的所有可能性。

三、GPT-4-Turbod的java实现

 1 public class CompleteKnapsack {
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 3     /**
 4      * 解决完全背包问题的函数
 5      * @param wgt 物品重量数组
 6      * @param val 物品价值数组
 7      * @param cap 背包容量
 8      * @return 背包能装入物品的最大价值
 9      */
10     public static int completeKnapsack(int[] wgt, int[] val, int cap) {
11         int n = wgt.length; // 物品的数量
12         int[][] dp = new int[n + 1][cap + 1]; // dp数组，多出的一行一列是为了方便处理边界情况
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14         // 初始化dp数组，Java默认初始化为0，所以这里可以省略
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16         // 遍历所有物品
17         for (int i = 1; i <= n; i++) {
18             // 遍历所有可能的背包容量
19             for (int c = 0; c <= cap; c++) {
20                 // 不选当前物品i
21                 dp[i][c] = dp[i - 1][c];
22                 // 选当前物品i，前提是背包容量足够
23                 if (c >= wgt[i - 1]) {
24                     dp[i][c] = Math.max(dp[i][c], dp[i][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
25                 }
26             }
27         }
28 
29         // 返回考虑所有物品，背包容量为cap时的最大价值
30         return dp[n][cap];
31     }
32 
33     public static void main(String[] args) {
34         int[] wgt = {1, 3, 4}; // 物品重量
35         int[] val = {15, 20, 30}; // 物品价值
36         int cap = 4; // 背包容量
37 
38         System.out.println("最大价值: " + completeKnapsack(wgt, val, cap));
39     }
40 }